812

а) Периметр прямоугольника равен 68 м, а его диагональ имеет длину 26 м. Найдите длины сторон прямоугольника

Решение

Сумма двух непараллельных сторон прямоугольника равна 34 м. Обозначим одну сторону за х м, тогда вторая сторона – (34 – х) м. По теореме Пифагора (34 – х)² + х² = 26²

1156 – 68 х + х² + х² = 676

2 х² – 68 х + 480 = 0

х² – 34 х + 240 = 0

D = b² – 4ac = (–34)² – 4•1•240 = 196

Квадратный корень из D = 14

х₁ = (–b – D) / 2 a = (34 – 14) / 2 = 10

x₂ = (–b + D) / 2 a = (34 + 14) / 2 = 24

Стороны прямоугольника равны – 10 м и 24 м.

 

б) Площадь прямоугольника равна 420 м², а его периметр 94 м. Найдите длины сторон прямоугольника.

Решение

Сумма двух непараллельных сторон прямоугольника равна 47 м. Обозначим одну сторону за х м, тогда вторая сторона – (47 – х) м. Площадь прямоугольника равна произведению двух непараллельных сторон

(47 – х) • х = 420

47 х – х² = 420

х² – 47 х + 420 = 0

D = b² – 4ac = (–47)² – 4•1•420 = 529

Квадратный корень из D = 23

х₁ = (–b – D) / 2 a = (47 – 23) / 2 = 12

x₂ = (–b + D) / 2 a = (47 + 23) / 2 = 35

Стороны прямоугольника равны – 12 м и 35 м.

 

813

а) Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 23 дм, а длина его гипотенузы равна 17 дм. Найдите длину каждого катета.

Решение

Обозначим длину одного катета за х дм . Длина второго катета – (23 – х) дм. По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

(23 – х)² + х² = 17².

529 – 46 х + х² х² = 289

2х² – 46 х + 240 = 0

х² – 23 х + 120 = 0

D = b² – 4ac = (–23)² – 4•1•120 = 49

Квадратный корень из D = 7

х₁ = (–b – D) / 2 a = (23 – 7) / 2 = 8

x₂ = (–b + D) / 2 a = (23 + 7) / 2 = 15

Катеты соответственно равны – 8 и 15 дм.

 

б) Площадь прямоугольного треугольника равна 84 см², а разность длин катетов равна 17 см. Найдите длину каждого катета.

Решение

Обозначим длину одного катета за х см . Длина второго катета – (х + 17) см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведению катетов

х (х + 17) = 84 • 2

х² + 17 х – 168 =0

D = b² – 4ac = (17)² + 4•1•168 = 961

Квадратный корень из D = 31

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–17 – 31) / 2 = –24

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–17 + 31) / 2 = 7

Катеты соответственно равны – 7 и 24 см.

 

814

а) Основание прямоугольника на 1 м больше высоты, а

диагональ прямоугольника имеет длину 29 м. Найдите периметр.

Решение

Обозначим высоту прямоугольника через х м, тогда вторая сторона – (1+х) м.

По теореме Пифагора

(1 + х)² + х² = 29²

1 + 2 х + х² + х² = 841

2 х² + 2 х – 840 = 0

х² + х – 420 = 0

D = b² – 4ac = (1)² + 4•1•420 = 1681

Квадратный корень из D = 41

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–1 – 41) / 2 = –21

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–1 + 41) / 2 = 20

Высота прямоугольника 20 м, а основание – 21 м.

 

 

б) Высота прямоугольника на 31 м больше его основания, а площадь прямоугольника равна 360 м². Найдите длину основания и высоту прямоугольника.

Решение

Обозначим основание прямоугольника через х м, тогда вторая сторона – (31+х) м.

По теореме Пифагора

(31 + х)•х = 360

х² + 31 х – 360 = 0

D = b² – 4ac = (31)² + 4•1•360 = 2401

Квадратный корень из D = 49

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–31 – 49) / 2 = –20

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–31 + 49) / 2 = 9

Основание прямоугольника 9 м, а высота – 40 м.

 

 

815

а) Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см, а длина его гипотенузы равна 26 см. Найдите длины катетов этого треугольника.

Решение

Обозначим один из катетов через х, тогда второй катет равен
(34 – х). По теореме Пифагора

(34 – х)² + х² = 26²

1156 –68 х + х² + х² = 676

х²–34 х + 240 = 0

D = b² – 4ac = (34)² – 4•1•240 = 196

Квадратный корень из D = 14

х₁ = (–b – D) / 2 a = (34 – 14) / 2 = 10

x₂ = (–b + D) / 2 a = (34 + 14) / 2 = 24

Длины катетов треугольника – 10 см и 24 см.

 

б) Периметр прямоугольника равен 34 см, а длина его диагонали равна 13 см. Найдите длины сторон этого прямоугольника.

Решение

Сумма двух непараллельных сторон прямоугольника равна 17 м. Обозначим одну сторону за х м, тогда вторая сторона – (17 – х) м. По теореме Пифагора (17 – х)² + х² = 13²

289 – 34 х + х² + х² = 169

2 х² – 34 х + 120 = 0

х² – 17 х + 60 = 0

D = b² – 4ac = (–17)² – 4•1•60 = 49

Квадратный корень из D = 7

х₁ = (–b – D) / 2 a = (17 – 7) / 2 = 5

x₂ = (–b + D) / 2 a = (17 + 7) / 2 = 12

Стороны прямоугольника равны – 5 см и 12 см.

 

 

 

 

.