836

а) Два пешехода прошли по 6 км. Но первый пешеход был в пути на 1 ч больше второго, потому что его скорость была на 3 км/ч меньше скорости второго. Сколько времени был в пути каждый пешеход?

Решение

х – скорость второго пешехода, км/час

(х – 3) – скорость первого пешехода, км/час

6/х – время движения второго пешехода, час

6/(х – 3) – время движения первого пешехода, час

6/(х – 3) – 6/х = 1

6х – 6х + 18 = х(х – 3)

х² – 3х – 18= 0

D = b² – 4ac = (–3)² + 4•1•18 = 81

Квадратный корень из D = 9

х₁ = (–b – D) / 2 a = (3 – 9) / 2 = –3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (3 + 9) / 2 = 6

Время движения второго пешехода 6/6 = 1 час

Время движения первого пешехода 6/(6 – 3) = 2 часа

 

 

б) Пешеход шел из города в поселок по дороге, длина которой 12 км. Возвращаясь обратно по той же дороге, он увеличил скорость на 2 км/ч, а потому затратил на обратный путь на 1 ч меньше, чем на путь из города в поселок. Сколько времени затратил пешеход на путь туда и обратно (вместе)?

Решение

х – скорость пешехода из города в поселок, км/час

(х + 2) – скорость пешехода из поселка в город, км/час

12/х – время движения пешехода из города в поселок, час

12/(х + 2) – время движения пешехода из поселка в город, час

12/х – 12/(х + 2) = 1

12(х + 2) – 12х = х(х + 2)

х² + 2х – 24= 0

D = b² – 4ac = (2)² + 4•1•24 = 100

Квадратный корень из D = 10

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–2 – 10) / 2 = –6

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–2 + 10) / 2 = 4

Общее время движения пешехода (12/4 + 12/6) = 5 часов

 

837

а) Водонапорный бак наполняется двумя трубами за 2 ч. Первая труба может наполнить его на 3 часа скорее, чем вторая. За сколько времени каждая труба может наполнить бак?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время наполнения бака первой трубой, час

у – время наполнения бака второй трубой, час

1/х – производительность первой трубы

1/у – производительность второй трубы

Так как две трубы, работая совместно, могли наполнить бак за 2 часа, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•2 = 1           (1)

Так как первая труба может наполнить бак на 3 часа быстрее, чем вторая, то можем записать

у – х = 3              (2)

Из второго уравнения у = 3 + х подставляем в первое

2/х + 2/(3 + х) = 1

4х + 6 = х² + 3х

х² – х – 6 = 0

D = b² – 4ac = (–1)² + 4•1•6 = 25

Квадратный корень из D = 5

х₁ = (–b – D) / 2 a = (1 – 5) / 2 = –2

x₂ = (–b + D) / 2 a = (1 + 5) / 2 = 3

у = 3 + 3 = 6

Ответ 3 часа, 6 часов.

 

б) Две бригады, работая совместно, могут построить склад за 4 дня: Первая бригада могла бы построить его на 6 дней скорее, чем вторая. За сколько дней могла бы построить склад каждая бригада, работая в отдельности?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первой бригадой, дней

у – время на всю работу второй бригадой, дней

1/х – производительность первой бригады

1/у – производительность второй бригады

Так как две бригады, работая совместно, могли построить склад за 4 дня, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•4 = 1           (1)

Так как первая бригада могла бы построить склад на 6 дней скорее, чем вторая, то можем записать

у – х = 6              (2)

Из второго уравнения у = 6 + х подставляем в первое

4/х + 4/(6 + х) = 1

8х + 24 = х² + 6х

х² – 2х – 24 = 0

D = b² – 4ac = (–2)² + 4•1•24 = 100

Квадратный корень из D = 10

х₁ = (–b – D) / 2 a = (2 – 10) / 2 = –4

x₂ = (–b + D) / 2 a = (2 + 10) / 2 = 6

у = 6 + 6 = 12

Ответ 6 часов, 12 часов.

 

838

а) Двое рабочих, работая вместе, закончили проведение электропроводки за 6 дней. За сколько дней эту работу выполнит каждый из них, если одному из этих рабочих требуется на 5 дней больше, чем другому?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первому рабочему, дней

у – время на всю работу второму рабочему, дней

1/х – производительность первого рабочего

1/у – производительность второго рабочего

Так как двое рабочих, работая вместе, закончили проведение электропроводки за 6 дней, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•6 = 1           (1)

Так как первый рабочий мог выполнить эту работу за 5 дней скорее, чем второй, то можем записать

у – х = 5              (2)

Составим систему уравнений и решим ее. Из второго уравнения

у = 5 + х

6/х + 6/(5 + х) = 1

12х + 30 = х² + 5х

х² – 7х – 30 = 0

D = b² – 4ac = (–7)² + 4•1•30 = 169

Квадратный корень из D = 13

х₁ = (–b – D) / 2 a = (7 – 13) / 2 = –3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (7 + 13) / 2 = 10

у = 5 + 10 = 15

Ответ: 10 дней, 15 дней.

 

 

б) Один комбайнер может убрать урожай на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они закончат уборку за 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первому комбайнеру, дней

у – время на всю работу второму комбайнеру, дней

1/х – производительность первого комбайнера

1/у – производительность второго комбайнера

Так как при совместной работе они закончат уборку за 35 ч, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•35 = 1                   (1)

Так как второй это может сделать за время на 24 ч больше, чем первый, то можем записать

у – х = 24            (2)

Составим систему уравнений и решим ее. Из второго уравнения

у = 24 + х

35/х + 35/(24 + х) = 1

70х + 840 = х² + 24х

х² – 46х – 840 = 0

D = b² – 4ac = (–46)² + 4•1•840 = 5476

Квадратный корень из D = 74

х₁ = (–b – D) / 2 a = (46 – 74) / 2 = –4

x₂ = (–b + D) / 2 a = (46 + 74) / 2 = 60

у = 60 + 24 = 84

Ответ 60 часов, 84 часа.

 

 

839

а) Два токаря должны изготовить по 40 деталей. Сколько деталей в час изготавливал первый токарь, если второй изготавливал на 3 детали в час меньше, затратив на всю работу на 3 часа больше?

Решение

х – количество деталей в час изготавливал первый токарь, дет/час

(х – 3) – количество деталей в час изготавливал второй токарь, дет/час

40 /х – время на выполнение работы первым токарем, час

40 /(х – 3) – время на выполнение работы вторым токарем, час

40 /(х – 3) – 40 /х = 3

120 = 3х² – 9х

х² – 3х – 40 = 0

D = b² – 4ac = (–3)² + 4•1•40 = 169

Квадратный корень из D = 13

х₁ = (–b – D) / 2 a = (3 – 13) / 2 = –5

x₂ = (–b + D) / 2 a = (3 + 13) / 2 = 8

Ответ: 8 деталей

 

б) Две машинистки должны были напечатать по 60 страниц каждая. Сколько страниц в час напечатала первая машинистка, если вторая, печатая на 2 страницы в чае больше, затратила на всю работу на 1 ч 30 мин меньше?

Решение

х – количество страниц в час печатала первая машинистка, лист/час

х + 2 – количество страниц в час печатала вторая машинистка, лист/час

60 /х – время на выполнение работы первой машинисткой, час

60 /(х + 2) – время на выполнение работы второй машинисткой, час

60 /х – 60 /(х + 2) = 1,5

120 = 1,5х² + 3х

х² + 2х – 80 = 0

D = b² – 4ac = (2)² + 4•1•80 = 324

Квадратный корень из D = 18

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–2 – 18) / 2 = –10

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–2 + 18) / 2 = 8

Ответ: 8 страниц