828

а) Лодка против течения прошла 22,5 км и по течению 28,5 км, затратив на весь путь 8 ч. Скорость течения реки 2,5 км/ч. Определите скорость движения лодки в стоячей воде.

Решение

х – скорость лодки в стоячей воде, км/час

28,5 /(х + 2,5) – время движения лодки по течению реки, час

22,5/(х – 2,5) – время движения парохода против течения реки, час

28,5 /(х + 4) + 22,5 /(х – 4) = 8

28,5 (х – 4) +22,5 (х + 4) = 8(х + 4)(х – 4)

51х – 24 = 8х² – 128

8х² – 51х – 104 = 0

D = b² – 4ac = (–51)² + 4•8•104 = 5929

Квадратный корень из D = 77

х₁ = (–b – D) / 2 a = (51 – 77) / 16 = –13/8

x₂ = (–b + D) / 2 a = (51 + 77) / 16 = 8

Скорость лодки в стоячей воде 8 км/час

 

б) Расстояние по реке от одной пристани до другой равно 30 км, моторная лодка проходит туда и обратно за 6 ч, затрачивая из этого времени 40 мин на остановки в пути. Найдите собственную скорость моторной лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение

х – скорость лодки в стоячей воде, км/час

30/(х + 3) – время движения лодки по течению реки, час

30/(х – 3) – время движения лодки против течения реки, час

30/(х + 3) + 30 /(х – 3) = 16/3

30 (х – 3) +30 (х + 3) = 16/3 (х + 3)(х – 3)

180х = 16х² – 144

4х² – 45х – 36 = 0

D = b² – 4ac = (–45)² + 4•4•36 = 2601

Квадратный корень из D = 51

х₁ = (–b – D) / 2 a = (45 – 51) / 8 = –3/4

x₂ = (–b + D) / 2 a = (45 + 51) / 8 = 12

Скорость лодки в стоячей воде 12 км/час

 

829

а) Турист, проплыв по течению реки на плоту 12 км, возвратился обратно на лодке, скорость которой в стоячей воде 5 км/ч. Найдите скорость течения реки, если известно, что на все путешествие турист затратил 10 ч.

Решение

х – скорость течения реки, км/час

12/х – время движения плота по течению реки, час

12/(5 –х) – время движения лодки против течения реки, час

12 / х + 12/(5 –х) = 10

60 – 12 х + 12 х = 10 х (5 –х)

60 = 50 х – 10х²

х² – 5х + 6 = 0

D = b² – 4ac = (–5)² – 4•1•6 = 1

Квадратный корень из D = 1

х₁ = (–b – D) / 2 a = (5 – 1) / 2 = 2

x₂ = (–b + D) / 2 a = (5 + 1) / 2 = 3

Скорость течения реки 2 или 3 км/час

 

б) Моторная лодка прошла 38 км по течению реки и 28 км против течения за то же время, за которое она могла в стоячей воде пройти 70 км. Какую скорость имеет лодка в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч?

Решение

х – скорость лодки в стоячей воде, км/час

38/(х + 3) – время движения лодки по течению реки, час

28/(х – 3) – время движения лодки против течения реки, час

70/х – время движения лодки в стоячей воде, час

38/(х + 3) + 28 /(х – 3) = 70/х

38х (х – 3) +28х (х + 3) = 70 (х + 3)(х – 3)

6х² + 30х – 630 = 0

х² + 5х – 126 = 0

D = b² – 4ac = (5)² + 4•1•126 = 529

Квадратный корень из D = 23

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–5 – 23) / 2 = –14

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–5 + 23) / 2 = 9

Скорость лодки в стоячей воде 9 км/час

 

830

а) Велосипедисту надо было проехать расстояние в 30 км. Выехав на 3 мин позже назначенного срока, велосипедист ехал со скоростью, большей на 1 км/ч, и прибыл вовремя на место. Определить скорость, с которой ехал велосипедист.

Решение

х – скорость велосипедиста, км/час

30/х – время движения велосипедиста с первоначальной скоростью, час

30/(х + 1) – время движения велосипедиста с действительной скоростью, час

30/х – 30/(х + 1) = 1/20

20(30/(х + 1) – 30/х) = х(х + 1)

х² + х – 600 = 0

D = b² – 4ac = (1)² + 4•1•600 = 2401

Квадратный корень из D = 49

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–1 – 49) / 2 = –25

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–1 + 49) / 2 = 24

Скорость велосипедиста 25 км/час

 

б) Пассажирский поезд был задержан в пути на 16 мин. Он нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч больше, чем полагалось по расписанию. Какова скорость поезда по расписанию?

Решение

х – скорость поезда, км/час

80/х – время движения поезда с первоначальной скоростью, час

80/(х + 10) – время движения поезда с действительной скоростью, час

80/х – 80/(х + 10) = 4/15

12000 = 4 х² + 40 х²

х² + 10 х² – 3000 =0

D = b² – 4ac = (10)² + 4•1•3000 = 12100

Квадратный корень из D = 110

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–10 – 110) / 2 = –60

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–10 + 110) / 2 = 50

Скорость поезда 50 км/час

 

831

а) Пешеход должен был пройти 6 км за определенный срок. Однако он задержался с выходом на 30 мин, поэтому, чтобы прийти вовремя, шел со скоростью, превышающей намеченную на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход?

Решение

х – скорость пешехода, км/час

6/х – время движения пешехода с первоначальной скоростью, час

6/(х + 1) – время движения пешехода с действительной скоростью, час

6/х – 6/(х + 1) = 0,5

6(х + 1) – 6х = 0,5 х (х + 1)

х² + х – 6 = 0

D = b² – 4ac = (1)² + 4•1•6 = 25

Квадратный корень из D = 5

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–1 – 5) / 2 = –3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–1 + 5) / 2 = 2

Скорость пешехода (2+1 = 3) км/час

 

б) Велосипедист проехал с определенной скоростью 10 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 5 км/ч. На путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч 40 мин. Найдите скорость, с которой велосипедист ехал от турбазы до города.

Решение

х – скорость велосипедиста, км/час

10/х – время движения велосипедиста с первоначальной скоростью, час

10/(х + 5) – время движения велосипедиста с действительной скоростью, час

10/х + 10/(х – 5) = 5/3

3(10/(х – 5) + 10/х) = 5х(х – 5)

х² –17х + 30 = 0

D = b² – 4ac = (–17)² – 4•1•30 = 169

Квадратный корень из D = 13

х₁ = (–b – D) / 2 a = (17 – 13) / 2 = 2

x₂ = (–b + D) / 2 a = (17 + 13) / 2 = 15

Скорость велосипедиста (15 – 5 = 10) км/час