824

а) Числитель некоторой дроби на 3 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с дробью, полученной перестановкой числителя и знаменателя данной, то получится 149/70. Найдите исходную дробь.

Решение

Обозначим числитель исходной дроби за (х – 3), а знаменатель за х. Исходная дробь имеет вид (х – 3)/х. Если эту дробь сложить с дробью, обратной данной, то

(х – 3)/х + х/(х – 3) = 149/70

70(х – 3)² + 70х² = 149 х (х – 3)

х² – 3 х – 70 = 0

D = b² – 4ac = (–3)² + 4•1•70 = 289

Квадратный корень из D =17

х₁ = (–b – D) / 2 a = (3 – 17) / 2 = –7

x₂ = (–b + D) / 2 a = (3 + 17) / 2 = 10

Исходная дробь имеет вид: (7/10); (10/7)

 

 

б) Знаменатель дроби на 1 больше удвоенного числителя. Если к членам этой дроби прибавить по 5 и от полученной дроби отнять первоначальную дробь, то получится 3\10. Найдите данную дробь.

Решение

Обозначим числитель исходной дроби за х, а знаменатель за (2х + 1). Исходная дробь имеет вид х/(2х + 1). Если к членам этой дроби прибавить по 5 и от полученной дроби отнять первоначальную дробь, то получится

(х + 5)/(2х + 6) – х/(2х + 1) = 3/10

3х² – 2 х – 8 = 0

D = b² – 4ac = (–2)² + 4•3•8 = 100

Квадратный корень из D = 10

х₁ = (–b – D) / 2 a = (2 – 10) / 6 = –8/3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (2 + 10) / 6 = 2

Исходная дробь имеет вид: (2/5)

 

825

а) Сумма двух чисел равна 22,а разность между их произведением и числом 20 равна 100. Найдите эти числа.

Решение

Обозначим первое число за х, а второе число за у.

Запишем

x + y = 22            (1)

x•y – 20 = 100     (2)

Имеем систему уравнений

Из первого уравнения находим х = (22 – у) и подставляем во второе уравнение

(22 – у)у – 20 =100

22у –у² – 20 = 100

у² – 22у +120 =0

D = b² – 4ac = (–22)² – 4•1•120 = 4

Квадратный корень из D = 2

у₁ = (–b – D) / 2 a = (22 – 2) / 2 = 10

у₂ = (–b + D) / 2 a = (22 + 2) / 2 = 12

х₁ = 12

х₂ = 10

Значения чисел – (10 и 12).

 

 

б) Разность двух чисел равна 6, а сумма их произведения и числа 13 равна 40. Найдите эти числа.

Решение

Обозначим первое число за х, а второе число за у.

Запишем

x – y = 6

x•y + 13 = 40

Имеем систему уравнений

Из первого уравнения находим х = (6 + у) и подставляем во второе уравнение

(6 + у)у + 13 =40

6у + у² + 13 = 40

у² + 6у – 27 =0

D = b² – 4ac = (6)² – 4•1•27 = 144

Квадратный корень из D = 12

у₁ = (–b – D) / 2 a = (–6 – 12) / 2 = –9

у₂ = (–b + D) / 2 a = (–6 + 12) / 2 = 3

х₁ = –3

х₂ = 9

Значения чисел – (–3 и –9) и (9 и 3).

 

826

а) Сумма двух чисел равна10, а сумма их квадратов равна 698. Найдите эти числа.

Решение

Обозначим первое число за х, а второе число за у.

Запишем

x + y = 10

x² +y² = 698

Имеем систему уравнений

Из первого уравнения находим х = (10 – у) и подставляем во второе уравнение

(10 – у)² + у² =698

100 – 20у + у² + у² = 698

у² – 10у – 299 =0

D = b² – 4ac = (–10)² + 4•1•299 = 1296

Квадратный корень из D = 36

у₁ = (–b – D) / 2 a = (10 – 36) / 2 = –13

у₂ = (–b + D) / 2 a = (10 + 36) / 2 = 23

х₁ = 23

х₂ = –13

Значения чисел – (23 и –13) и (–13 и 23).

 

 

б) Отношение двух чисел равно 3\5, а сумма их квадратов равна 850. Найдите эти числа.

Решение

Обозначим первое число за х, а второе число за у.

Запишем

x / y = 0,6

x² +y² = 850

Имеем систему уравнений

Из первого уравнения находим х = (0,6 у) и подставляем во второе уравнение

(0,6у)² + у² =850

1,36 у² = 850

у² = 625

у₁ = –25

у₂ = 25

х₁ = –15

х₂ = 15

Значения чисел – (–15 и –25) и (15 и 25).

 

827

а) Пароход прошел по течению реки 48 км и столько же против течения, затратив на весь путь 5 ч. Определите скорость парохода в стоячей воде, если скорость течения реки 4 км/ч.

Решение

х – скорость парохода в стоячей воде, км/час

48 /(х + 4) – время движения парохода по течению реки, час

48 /(х – 4) – время движения парохода против течения реки, час

48 /(х + 4) + 48 /(х – 4) = 5

48 (х – 4) +48 (х + 4) = 5(х + 4)(х – 4)

5х² – 96х – 80 = 0

D = b² – 4ac = (–96)² + 4•5•80 = 10816

Квадратный корень из D = 104

х₁ = (–b – D) / 2 a = (96 – 104) / 10 = –0,8

x₂ = (–b + D) / 2 a = (96 + 104) / 10 = 20

Скорость парохода в стоячей воде 20 км/час

 

б) Расстояние между двумя пристанями по реке равно 80 км. Пароход проходит этот путь туда и обратно за 8 ч 20 мин. Определите скорость парохода в стоячей воде, считая скорость течения реки равной –4 км/ч.

Решение

х – скорость парохода в стоячей воде, км/час

80 /(х + 4) – время движения парохода по течению реки, час

80 /(х – 4) – время движения парохода против течения реки, час

80 /(х + 4) + 80 /(х – 4) = 25/3

80 (х – 4) +80 (х + 4) = (25/3)(х + 4)(х – 4)

480х = 25х² – 400

5х² – 96х – 80 = 0

D = b² – 4ac = (–96)² + 4•5•80 = 10816

Квадратный корень из D = 104

х₁ = (–b – D) / 2 a = (96 – 104) / 10 = –0,8

x₂ = (–b + D) / 2 a = (96 + 104) / 10 = 20

Скорость парохода в стоячей воде 20 км/час