820

а) Одно число меньше другого на 5. Разность между квадратом меньшего числа и большим числом равна 85. Найти эти числа.

Решение

Обозначим первое число за х, тогда второе число – (5 + х).

Запишем Разность между квадратом меньшего числа и большим числом

х² – (5 + х) = 85

х² – х – 90 = 0

D = b² – 4ac = (–1)² + 4•1•90 = 361

Квадратный корень из D = 19

х₁ = (–b – D) / 2 a = (1 – 19) / 2 = –9

x₂ = (–b + D) / 2 a = (1 + 19) / 2 = 10

Значения чисел – (10 и 15); (–9 и –4).

 

б) Первое число больше второго на 4. Разность между квадратом первого числа и вторым числом равна 46. Найти эти числа.

Решение

Обозначим второе число за х, тогда первое число – (4 + х).

Запишем разность между квадратом первого числа и вторым числом

(4 + х)² – х = 46

16 + 8 х + х² – х = 46

х² + 7 х – 30 =0

D = b² – 4ac = (7)² + 4•1•30 = 169

Квадратный корень из D = 13

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–7 – 13) / 2 = –10

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–7 + 13) / 2 = 3

Значения чисел – (7 и3); (–6 и –10).

 

821

а) Числитель некоторой обыкновенной дроби на 1 больше знаменателя. Если к числителю дроби прибавить 3, а к знаменателю 18, то полученная дробь будет меньше исходной на 1. Найти исходную дробь.

Решение

Обозначим знаменатель исходной дроби за х, тогда числитель исходной дроби – (х + 1). Если к числителю дроби прибавить 3, а к знаменателю 18, то полученная дробь будет иметь вид (х + 4)/(х + 18). Запишем разность между первой и второй дробью

(х + 1)/х –.(х + 4)/(х + 18) = 1

(х + 1)(х + 18) – х(х + 4) = х(х + 18)

х² + 19 х +18 – х² +4 х = х² + 18 х

х² + 3 х –18 = 0

D = b² – 4ac = (3)² + 4•1•18 = 81

Квадратный корень из D = 9

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–3 – 9) / 2 = –6

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–3 + 9) / 2 = 3

Исходная дробь имеет вид: 4/3; (–5)/(–6)

б) Числитель некоторой обыкновенной дроби на 4 меньше знаменателя. Если числитель уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на 5,то полученная дробь будет меньше исходной на 1/3. Найти исходную дробь.

Решение

Обозначим знаменатель исходной дроби за х, тогда числитель исходной дроби – (х – 4). Если числитель уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на 5 то полученная дробь будет иметь вид (х – 7)/(х + 5) Запишем разность между первой и второй дробью

(х – 4)/х – (х – 7)/(х + 5) = 1/3

(х – 4) (х + 5.) – х(х – 7) = х(х + 5)/3

х² + х – 20 – х² + 7 х = (х² + 5 х)/3

х² – 19 х + 60 = 0

D = b² – 4ac = (–19)² – 4•1•60 = 121

Квадратный корень из D = 11

х₁ = (–b – D) / 2 a = (19 – 11) / 2 = 4

x₂ = (–b + D) / 2 a = (19 + 11) / 2 = 15

Исходная дробь имеет вид: (11/15); (0/4)

 

822

а) Найти дробь, которая принимает значение 3\4, если ее числитель увеличить на 6 единиц, и принимает значение 1\2, если ее знаменатель уменьшить на 2 единицы.

Решение

Обозначим знаменатель исходной дроби за у, а числитель – за х. Исходная дробь имеет вид х/у

(х + 6)/у = 3/4         (1)

х/(у - 2) = 1/2          (2)

Из второго уравнения – х = (у–2)/2 подставляем в первое, решая которое имеем у=20. Тогда х=9.

Исходная дробь имеет вид: 9/20

 

б) Если числитель дроби увеличить на 1\2 или 2, то дробь

принимает значение 1\2 или 1 соответственно. Найти эту дробь.

Решение

Обозначим числитель исходной дроби за х, а знаменатель за у. Исходная дробь имеет вид х/у

(х + 0,5)/у = 0,5               (1)

(х + 2)/у = 1            (2)

Из второго уравнения у = (х+2). Подставляем в первое

(х + 0,5)/(х+2)=0,5

(х + 0,5)= 0,5(х+2)

0,5х = 0,5

х = 1

у = 3

Исходная дробь имеет вид: 1/3

 

823

а) Знаменатель дроби на 2 больше числителя. Если от обратной дроби с числителем, уменьшенным на единицу, вычесть данную дробь, то получим 11\15.Найдите эту дробь.

Решение

Обозначим числитель исходной дроби за х, а знаменатель за (х + 2). Исходная дробь имеет вид х/(х + 2). Обратная дробь с числителем, уменьшенным на единицу (х + 1)/х. Вычитаем от обратной дроби исходную дробь.

(х + 1)/х – х/(х + 2) = 11\15

15((х + 1) (х + 2) – х²) = 11х(х + 2)

11х² – 23 х – 30 = 0

D = b² – 4ac = (–23)² + 4•11•30 = 1849

х₁ = (–b – D) / 2 a = (23 – 43) / 22 = –10/11

x₂ = (–b + D) / 2 a = (23 + 43) / 22 = 3

Исходная дробь имеет вид: (3/5); (–5/6)

 

б) Числитель дроби на 4 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с дробью, обратной данной, то получим 106\45. Найдите данную дробь.

Решение

Обозначим числитель исходной дроби за (х – 4), а знаменатель за х. Исходная дробь имеет вид (х – 4)/х. Если эту дробь сложить с дробью, обратной данной, то

(х – 4)/х + х/(х – 4) = 106\45

45(х – 4)² + 45х² = 106 х (х – 4)

45х² –360х + 720 + 45х² = 106 х² – 424х

16х² – 64 х – 720 = 0

х² – 4 х – 45 = 0

D = b² – 4ac = (–4)² + 4•1•45 = 196

Квадратный корень из D = 14

х₁ = (–b – D) / 2 a = (4 – 14) / 2 = –5

x₂ = (–b + D) / 2 a = (4 + 14) / 2 = 9

Исходная дробь имеет вид: (5/9); (9/5)