994

а) Несколько человек взялись вырыть канаву и могли бы окончить работу за 24 ч, если бы делали все одновременно. Вместо этого они приступили к работе один за другим через равные промежутки времени, и затем каждый работал до окончания всей работы. Сколько времени они рыли канаву, если первый приступивший к работе проработал в 5 раз больше, чем последний?

Решение

х – время работы первым рабочим

Первый приступивший к работе проработал в 5 раз больше, чем последний

(х/5) – время работы последнего рабочего

Число рабочих

х/(х/5) = 5

Пять человек взялись вырыть канаву и могли бы окончить работу за 24 ч, если бы делали все одновременно. В общей сложности было бы затрачено этими рабочими 24*5 = 120 часов. То есть, первый рабочий работал на протяжении 120 часов, по мере подключения остальных.

Последний рабочий проработал по условию задачи в 5 раз меньше. Значит, отработал 120/5 = 24 часа.

Имеем арифметическую прогрессию. Первым членом есть число 120, а последний, пятый, 24. Тогда общее время работы

(120 + 24)5/2 = 360 часов.

Ответ: 360 часов.

б) Двое рабочих выкопали ров, работая один после другого. При этом первый работал А дней и выполнил часть всей работы, равную р/д. Если бы они работали вместе, то ров был бы вырыт за число дней, равное среднему арифметическому между числом дней, в течение которых работал первый, и числом дней, в -течение которых работал второй. Сколько дней работал второй?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первым рабочим

у – время на всю работу вторым рабочим

1/х – производительность первого рабочего

1/у – производительность второго рабочего

А – время работы первого рабочего

Т – время работы второго рабочего

(А + Т)/2 – среднее арифметическое числа дней работы первго и второго

Можем составить следующие уравнения. Первый работал А дней и выполнил часть всей работы, равную р/д.

(1/х)А = р/д                  (1)

Второму осталось выполнить остальную часть работы равной
1 – р/д = (д – р)/д

(1/у)Т = (д – р)/д                   (2)

Если бы они работали вместе, то ров был бы вырыт за число дней, равное среднему арифметическому между числом дней, в течение которых работал первый, и числом дней, в течение которых работал второй.

(1/х + 1/у) (А + Т)/2 = 1                  (3)

Из первого уравнения 1/х = р/(Ад)

Из второго уравнения 1/у = (д – р)/дТ

Данные значения заносим в третье уравнение

р/(Ад) + (д – р)/дТ = 2/(А + Т)

Откуда получаем квадратное уравнение

рТ² – АдТ – А²(р – д) = 0

Решение которого дает искамый результат, число дней работы второго.

 

995

а) Из деревни по двум дорогам, угол между которыми 120⁰ одновременно отправились две группы, причем скорость одной из них была в 5/3 раза больше скорости второй. Найти скорость обеих групп, если известно, что через 4 ч после начала движения расстояние между ними было на 8 км больше расстояния, пройденного группой с большей скоростью.

Решение

х – скорость первой группы

5х/3 – скорость второй группы

Известно, что через 4 ч после начала движения расстояние между ними было на 8 км больше расстояния, пройденного группой с большей скоростью.

АВ = 4х – пройденное расстояние первой группой за 4 часа

АС = 20х/3 – пройденное расстояние второй группой за 4 часа

ВС = (20х/3 + 8) – расстояние между группами после 4 часов движения.

Используя теорему косинусов

(ВС)² = (АВ)² + (АС)² – 2*АВ*АС*соs120⁰

(20х/3 + 8)² = (4х)² + (20х/3)² – 2*4х*20х/3*(–1/2)

4х² – 10х – 6 = 0

D = b² – 4ac = (-10)² + 4•4•6 = 196

Квадратный корень из D = 7

х₁ = (–b – D) / 2 a = (10 – 14) / 8 = - 0,5

х₂ = (–b + D) / 2 a = (10 + 14) / 8 = 3

Принимаем х = 3 км/час скорость первой группы.

Скорость второй группы 3*5/3 = 5 км/ч

Ответ: 3 км/час, 5 км/час.

б) К материальной точке приложены две силы, угол между которыми 60⁰. Величина одной из приложенных сил на 6 Н больше другой, а равнодействующая в корень квадратный из 13 больше, чем меньшая сила. Найти величины этих сил.

Решение

х – одна из приложенных сил

х + 6 – значение другой приложенной силы

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов

х² + (х + 6)² – 2х(х + 6)соs120 = 13х²

5х² – 9х – 18 = 0

D = b² – 4ac = (-9)² + 4•5•18 = 441

Квадратный корень из D = 21

х₁ = (–b – D) / 2 a = (9 – 21) / 10 = -6/5

х₂ = (–b + D) / 2 a = (9 + 21) / 10 = 3

Принимаем х = 3 Н меньшая сила.

Вторая из приложенных сил равна 3 + 6 = 9 Н

Ответ: 3 Н, 9 Н.

 

996

а) Сумма катетов прямоугольного треугольника 89 см. Если один из них увеличить на 6 см, а другой уменьшить на 4 см, а гипотенузу оставить без изменения, то снова получится прямоугольный треугольник. Определите, как при этом изменится площадь.

Решение

Обозначим длины катетов через х и у. Сумма катетов прямоугольного треугольника х + у = 89                  (1).

Если один из них увеличить на 6 см, а другой уменьшить на 4 см, а гипотенузу оставить без изменения, то снова получится прямоугольный треугольник.

(х + 6)² + (у – 4)² = х² + у²              (2)

х² +12х + 36 + у² – 12у + 16 = х² + у²

12х – 8у + 52 = 0

Из первого уравнения х = 89 – у подставляем во второе.

12(89 – у) – 8у + 52 = 0

5у = 280

у = 56

х = 89 – у = 89 – 56 = 33

Площадь первого треугольника 56*33/2 = 924

Площадь вторичного треугольника 62*29/2 = 899

Площадь изменилась на 924 – 899 = 25 см²

Ответ: 25 см²

б) Разность катетов прямоугольного треугольника равна 17 м. Если больший катет увеличить на 7 м, а другой уменьшить на 11 м, то в полученном прямоугольном треугольнике гипотенуза будет иметь ту же длину, что и в первоначальном треугольнике. Как при этом изменится площадь треугольника?

Решение

Решение

Обозначим длины катетов через х и у. Разность катетов прямоугольного треугольника равна х – у = 17           (1).

Если больший катет увеличить на 7 м, а другой уменьшить на 11 м, то в полученном прямоугольном треугольнике гипотенуза будет иметь ту же длину, что и в первоначальном треугольнике.

(х + 7)² + (у – 11)² = х² + у²            (2)

х² +14х + 49 + у² – 22у + 121 = х² + у²

14х – 22у + 170 = 0

Из первого уравнения х = 17 + у подставляем во второе.

14(17 + у) – 22у + 170 = 0

4у = 204

у = 51

х = 17 + у = 17 + 51 = 68

Площадь первого треугольника 51*68/2 = 1734

Площадь вторичного треугольника 75*40/2 = 1500

Площадь изменилась на 1734 – 1500 = 234 см²

Ответ: 234 см²

 

997

а) Два крана могут наполнить резервуар за 6 мин. Если первый кран наполнит 0,6 резервуара, а остальное -второй кран, то резервуар будет наполнен за 12 мим. За сколько минут каждый кран может наполнить весь резервуар?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время наполнения бассейна первым краном, мин

у – время наполнения бассейна вторым краном, мин

1/х – производительность первого крана

1/у – производительность второго крана

Два крана могут наполнить резервуар за 6 мин. Можем записать

(1/х + 1/у)•6 = 1           (1)

Если первый кран наполнит 0,6 резервуара, а остальное -второй кран, то резервуар будет наполнен за 12 мим.

0,6х + 0,4у = 12           (2)

Из второго уравнения

х = (60 – 2у)/3 подставляем в первое

18/(60 – 2у)  + 6/у = 1

у² – 27х + 180 = 0

D = b² – 4ac = (–27)² – 4•1•180 = 9

Квадратный корень из D = 3

у₁ = (–b – D) / 2 a = (27 – 3) / 2 = 12

у₂ = (–b + D) / 2 a = (27 + 3) / 2 = 15

х₁ = (60 – 2у₁)/3 = 12

х₂ = (60 – 2у₂)/3 = 10

Ответ (12 час. 12 час), (15 час, 10 час).

б) При совместной работе двух комбайнов урожай был собран за 2 дня. Если бы треть урожая сначала собрал 1 первый комбайн, а остальное - второй комбайн, то вся работа была бы закончена за 5 дней. За сколько дней можно собрать урожай каждым комбайном отдельно?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первым комбайном

у – время на всю работу вторым комбайном

1/х – производительность первого комбайна

1/у – производительность второго комбайна

При совместной работе двух комбайнов урожай был собран за 2 дня.

(1/х + 1/у)•2 = 1           (1)

Если бы треть урожая сначала собрал 1 первый комбайн, а остальное - второй комбайн, то вся работа была бы закончена за 5 дней.

х/3 + 2у/3 = 12             (2)

Из второго уравнения

х = (60 – 2у)/3 подставляем в первое

18/(60 – 2у)  + 6/у = 1

у² – 27х + 180 = 0

D = b² – 4ac = (–27)² – 4•1•180 = 9

Квадратный корень из D = 3

у₁ = (–b – D) / 2 a = (27 – 3) / 2 = 12

у₂ = (–b + D) / 2 a = (27 + 3) / 2 = 15

х₁ = (60 – 2у₁)/3 = 12

х₂ = (60 – 2у₂)/3 = 10

Ответ (12 час. 12 час), (15 час, 10 час).