989

а) Свежие грибы содержат 90% воды (по массе), а сухие 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих и сколько надо собрать свежих грибов, чтобы получить 200 г сухих?

Решение

В 22 кг свежих грибов содержится 22*0,1 = 2,2 кг обезвоженной массы.
В 1 кг сухих грибов содержится 0,88 кг обезвоженной массы. Имеем

2,2/0,88 = 2,5. Из 22 кг свежих грибов получим 2,5 кг сухих.

В 200 г сухих грибов содержится 0,2*0,88 = 0,176 кг обезвоженной массы.

В 1 кг свежих грибов содержится 10 % обезвоженной массы, то есть 0,1 кг.

Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы получить 200 г сухих?

0,176/0,1 = 1,76 кг.

Ответ: 2,5 кг, 1,76 кг.

б) Сколько надо добавить воды к 100 г сухого молока с содержанием 7% воды, чтобы получить молоко с содержанием 60% воды, и сколько надо взять молока с содержанием 60% воды, чтобы получить из него 250 г: сухого молока с содержанием 7% воды?

Решение

Сколько надо добавить воды к 100 г сухого молока с содержанием 7% воды, чтобы получить молоко с содержанием 60% воды?

В 100 г сухого молока содержится 7% воды, то есть 7 г.

х – добавляемая масса воды

7 + х – масса воды в молоке с содержанием 60% воды

100 + х – масса молока с содержанием 60% воды

Составим уравнение и решим его

(7 + х)/(100 + х) = 0,6

7 + х = 0,6(100 + х)

7 + х = 60 + 0,6х

0,4х = 53

х = 132,5

Сколько надо взять молока с содержанием 60% воды, чтобы получить из него 250 г: сухого молока с содержанием 7% воды?

у – добавляемая масса воды в 60% молоке

(17,5 + у)/(250 + у) = 0,6

0,4у = 132,5

у = 331,25

Необходимое количество молока с содержанием 60% воды
250 + 331,25 = 581,25 г

Другой способ.

В 250 г сухого молока содержится 0,25*0,93 = 0,2325 кг обезвоженного молока. В 1 кг 60 % молока содержится 0,4 кг обезвоженного молока.

Тогда 0,2325/0,4 = 0,58125 кг = 581,25 г.

Ответ: 581,5 г.

 

990

а) Две точки движутся с постоянными скоростями по окружности длиною L. Если они движутся в разных направлениях, то встречаются каждые t с. При движении в одном направлении одна точка настигает другую через каждые  T c. Определить скорости обеих точек.

Решение

Введем обозначения

х – время на прохождение окружности первой точкой

у – время на прохождение окружности второй точкой

Пусть х < у

(L/х) – скорость первой точки

(L/у) – скорость второй точки

Если они движутся в разных направлениях, то встречаются каждые t с.

(L/х)t + (L/у)t = L

(L/х) + (L/у) = L/t

1/х + 1/у = 1/t               (1)

При движении в одном направлении одна точка настигает другую через каждые  T c.

(L/х)T =  (L/у)T +L

LT((1/х) – (1/у)) = L

(1/х) – (1/у) = 1/T                   (2)

Сложим первое уравнение со вторым

2/х = 1/t + 1/T

х = 2tT/(t + T)               (3)

Полученное значение подставим в первое уравнение. Откуда

у = 2tT/(T – t)               (4)

Уравнения 3 и 4 позволяют находить время движения точек по окружности.

(L/х) = L(t + T)/2tT – скорость первой точки

(L/у) = L(T – t)/2tT – скорость второй точки

Ответ: L(t + T)/2tT, L(T – t)/2tT

б) По одной и той же окружности движутся два тела в одну и ту же сторону. Длина окружности равна. Одно тело проходит окружность на t мин скорее другого тела. Определить, сколько метров в минуту проходит каждое тело, зная, что они при движении сходятся каждые 6 мин.

Решение

х – время прохождения окружности первой точкой

у – время прохождения окружности второй точкой

L/х – скорость прохождения окружности первой точкой

L/у – скорость прохождения окружности второй точкой

Будем полагать, что х<у, тогда из условия задачи следует уравнение

у – х = t               (1)

Так как тела встречаются каждые 6 минут, и первое тело движется быстрее, то она должна зо 6 мин пройти полный кру L м и еще столько, сколька успеет пройти за 6 мин второе тело, т.е. 6L/у м.

Отсюда имеем второе уравнение

6L/х = 6L/у + L             (2)

Решая первое и второе уравнения, имеем

х² + tх – 6t = 0

D = b² – 4ac = (-t)² + 4•1•6t = t² + 24t

Квадратный корень из D = а

х₁ = (–b – D) / 2 a = (t – а) / 2

х₂ = (–b + D) / 2 a = (t + а) / 2

у₁ = (t – а) / 2 + t = (3t – а) / 2

у₂ = (t + а) / 2 + t = (3t + а) / 2

Определить, сколько метров в минуту проходит каждое тело

L/х = L/х₂

L/у = L/у₂

Ответ: L/х₂ м/мин, L/у₂ м/мин.

 

991

а) Два велосипедиста, выехав одновременна с разными, но постоянными скоростями из пункта А в пункт В, достигнув его, сразу поворачивают обратно. Первый велосипедист, обогнав второго, встречает его на обратном пути на расстоянии Q км от В, затем, достигнув А и снова повернув к В, он встречает второго велосипедиста, пройдя k–ю часть расстояния от А до В. Найдите расстояние от А до В.

Решение

a – расстояние между пунктами А и В

х – скорость первой машины

у – скорость второй машины

t – время движения машин до встречи в точке 1

хt – путь пройденный первой машиной до точки 1

уt – путь пройденный второй машиной до точки 1

х 2t – путь пройденный первой машиной до точки 2

уt = а – Q            (1)

хt + уt = 2a                   (2)

х 2t = 2a + a/k     (3)

Из первого уравнения значение уt подставляем во второе

хt + а – Q = 2a откуда хt = а + Q   (4) подставляем в пятое уравнение

Из третьего уравнения

хt = (2a + a/k)/2            (5)

а + Q = (2a + a/k)/2

Из последнего уравнения находим расстояние между пунктами А и В

а = 2 k Q

Ответ: 2 k Q км

б) Из пункта А в пункт В выехала машина с почтой. Через р мин за ней выехала другая. Двигаясь со скоростью V км/час, она нагнала первую и, передав забытый срочный пакет, повернула назад. В пункт А вторая машина прибыла одновременно с прибытием первой в пункт В. С какой скоростью двигалась первая машина, если расстояние между А и В равно д км?

Решение

х –скорость первой машины

х(р + т) – пройденное расстояние первой машиной до момента встречи со второй

Vт – пройденное расстояние второй машиной до момента встречи с первой

Запешем уравнение

х(р + т) = Vт                 (1)

В пункт А вторая машина прибыла одновременно с прибытием первой в пункт В. Следует, что

V 2т = д

Находим т = д/(2V) и подставляем в первое уравнение, откуда

х = дV/(д + 2рV)

Ответ: дV/(д + 2рV)

 

992

а) Из двух населенных пунктов выходят, навстречу друг другу, два курьера и встречаются в некотором пункте М.. Если бы первый курьер вышел на час раньше, а второй на полчаса позже, то они встретились бы на 18 мин раньше, чем в действительности. Если бы второй вышел на час раньше, а первый на полчаса позже, то они встретились бы в пункте, отстоящем от М на 5600 м. Найдите скорости обоих курьеров.

Решение

х – скорость движения первого курьера

у – скорость движения второго курьера

t – время движения курьеров до встречи в точке М

хt – пройденное расстояние первым курьером до встречи в точке М

уt – пройденное расстояние вторым курьером до встречи в точке М

(хt + уt) – расстояние между населенными пунктами

Если бы первый курьер вышел на час раньше, а второй на полчаса позже, то они встретились бы на 18 мин раньше, чем в действительности. Здесь имеем, что второй и первый курьеры одновременно до встречи находились бы (t – 0,5 – 0,3) = (t – 0,8)ч по отношения ко времени в первом случае.

(1,5х + х(t – 0,8)) – пройденное расстояние первым курьером до встречи в N.

у(t – 0,8) – пройденное расстояние вторым курьером до встречи в точке N.

Составим уравнение

(хt + уt) – (1,5х + х(t – 0,8)) = у(t – 0,8)

хt + уt – 1,5х – хt + 0,8х = уt – 0,8у

0,8у = 0,7х

х = 8у/7               (1) подставим во второе

Если бы второй вышел на час раньше, а первый на полчаса позже, то они встретились бы в пункте F, отстоящем от М на 5600 м.

(хt – 5,6)/х – время одновременного движения первого курьера со вторым до встречи в пункте F

(уt + 5,6)/у – 1,5 – время одновременного движения второго курьера с первым до встречи в пункте F.

Соствим уравнение

(хt – 5,6)/х = (уt + 5,6)/у – 1,5

t – 5,6/х = t + 5,6/у – 1,5

5,6/х + 5,6/у = 1,5                  (2)

5,6*7/8у + 5,6/у = 1,5 

5,6*15 = 1,5 *8у

у = 7

х = 8*7/7 = 8

Ответ: 8 км/час, 7 км/час.

Интересное замечание по второй ситуации.

1,5х – хt = 0,3х

t = 1,2 час

б) Два поезда выезжают одновременно из А и В навстречу друг другу и встречаются на расстоянии Р км от В. Через К ч после встречи второй поезд, миновав пункт А, находился в П км от него, а первый в это время, миновав пункт В, находился от второго поезда на расстоянии в два раза больше, чем расстояние между пунктами А и В. Найдите скорости поездов и расстояние между А и В.

Решение

х – скорость поезда из пункта А

у – скорость поезда из пункта В

До встречи поездов в точке 1 прошло К/2 часов. Запишем уравнение

хК/2 + уК/2 = а            (1)

Пройденное расстояние поездом из пункта А

хК/2 = а – Р                  (2)     ----> хК = 2(а – Р)

Пройденное расстояние поездом из пункта В

уК/2 + уК = а + П                  (3)     ----> уК = 2(а + П)/3

Полученные значения из уравнение (2) и (3) подставляем в первое уравнение. Решая его, находим

а = 3Р – П

Ответ: 3Р – П

 

993

а) По окружности длиною в 360 м движутся два тела. Одно из них проходит в секунду на 4 м больше другого и поэтому проходит всю окружность на 1 с скорее. Сколько метров в секунду проходит каждое тело?

Решение

х – время первой точки для прохождения окружности

у – время второй точки для прохождения окружности

360/х – скорость первой точки

360/у – скорость второй точки

Пусть х < у

у – х = 1              (1)

360/х – 360/у = 4                   (2)

Из первого уравнения у = (х + 1) подставляем во второе

360/х – 360/(х + 1) = 4

360 = 4х² + 4х

х² + х – 90 = 0

D = b² – 4ac = (1)² + 4•1•90 = 361

Квадратный корень из D = 19

х₁ = (–b – D) / 2 a = (-1 – 19) / 2 = - 10

х₂ = (–b + D) / 2 a = (-1 + 19) / 2 = 9

Принимаем х = 9

у = (х + 1) = 9 + 1 =10

Скорости точек

360/х = 360/9 = 40

360/у = 360/10 = 36

Ответ: 40 м/с, 36 м/с.

 

б) Окружность заднего колеса в 2 раза больше окружности переднего. Если длину окружности заднего колеса уменьшить на 1 м, а переднего увеличить на 1 м, то на протяжении 60 м заднее колесо сделает на 30 оборотов больше переднего. Определить длину окружности каждого колеса.

Решение

Окружность заднего колеса в 2 раза больше окружности переднего.

х – длина окружности переднего колеса

2х – длина окружности заднего колеса

Длину окружности заднего колеса уменьшить на 1 м, а переднего увеличить на 1 м, то на протяжении 60 м заднее колесо сделает на 30 оборотов больше переднего

60/(2х – 1) – число оборотов заднего колеса на отрезке 60 м

60/(х + 1) – число оборотов переднего колеса на отрезке 60 м

60/(2х – 1) – 60/(х + 1) = 30

2х² + 3х – 5 = 0

D = b² – 4ac = (3)² + 4•2•5 = 49

Квадратный корень из D = 7

х₁ = (–b – D) / 2 a = (-3 – 7) / 4 = - 2,5

х₂ = (–b + D) / 2 a = (-3 + 7) / 4 = 1

Принимаем х = 1. Длина окружности переднего колеса 1 м, заднего – 2 м.

Ответ: 1 м, 2 м.