984 а) Сосуд емкостью 20 л наполнен обезвоженной кислотой.Часть этой кислоты отлили, а сосуд долили водой. Затем снова отлили столько же жидкости, сколько в первый раз кислоты, и сосуд опять долили водой. После этого в полученном растворе оказалось кислоты втрое меньше, чем воды. Сколько кислоты отлили из сосуда в первый раз?

Решение

х – объем литров кислоты отлитой в первый раз. Тогда (20 – х) литров кислоты осталось в сосуде

После того как сосуд долили водай, в нем стало 20 л смеси. Следовательно, в 1 л смеси содержится (20 – х)/20 литров кислоты

Затем снова отлили столько же и опять долили водой. Значит, кислоты отлили во второй раз ((20 – х)/20)•х литров.

В полученном растворе оказалось кислоты втрое меньше, чем воды, то есть отношение воды к кислоте 3 : 1. Ккслоты отлили 20 – 20/(3 + 1) = 15. Составим уравнение и решим его

х + ((20 – х)/20)•х = 15

20х + 20х – х² = 300

х² – 40х +300 = 0

D = b² – 4ac = (–40)² – 4•1•300 = 400

Квадратный корень из D = 20

х₁ = (–b – D) / 2 a = (40 – 20) / 2 = 10

х₂ = (–b + D) / 2 a = (40 + 20) / 2 =  30

Принимаем х = 10 (х₂ = 30 не удовлетворяет условию

Ответ: 10 л.

б) Сосуд емкостью 20 л наполнен обезвоженной кислотой. Часть этой кислоты отлили во второй сосуд такой же емкости, как и первый, и долили второй сосуд водой до наполнения. Полученной смесью долили первый сосуд до наполнения. Затем из первого отлили 20/3 л смеси во второй, после чего в обоих сосудах оказалось одинаковое количество кислоты. Сколько литров кислоты отлили первоначально из первого сосуда во второй?

Решение

х – объем литров кислоты отлитой в первый раз из первого сосуда и вылитой во второй сосуд, а затем долили второй сосуд водой до наполнения. Тогда
(20 – х) литров кислоты осталось в первом сосуде, х литров кислоты стало во втором сосуде.

После того как первый сосуд долили полученной смесью до наполнения из второго сосуда, в нем стало 20 л смеси, в которой содержится (20 – х) + х²/20 литров кислоты. Следовательно, в 1 л смеси содержится ((20 – х) + х²/20)/20 литров кислоты.

Затем из первого отлили 20/3 л смеси во второй, после чего в обоих сосудах оказалось одинаковое количество кислоты, по 10 литров.

Составим уравнение и решим его

((20 – х) + х²/20) – (20/3)( (20 – х) + х²/20)/20 = 10

х² – 20х +100 = 0

D = b² – 4ac = (–20)² – 4•1•100 = 0

Квадратный корень из D = 0

х₁ = (–b – D) / 2 a = (20 – 0) / 2 = 10

х₂ = (–b + D) / 2 a = (20 + 0) / 2 =  10

Принимаем х = 10

Ответ: 10 л.

 

985

а) Часовая и минутная стрелки совпадают в полночь. Через сколько минут впервые вновь совпадут стрелки?

Решение

х – угловая скорость минутной стрелки, град/мин

у – угловая скорость часовой стрелки, град/мин

х = 360/60 = 6 град/мин

у = (360/12)/60 = 0,5 град/мин

t – отрезок времени между первым и вторым совпадением стрелок

За это время минутная стрелка сделает полный оборот и начнет гонку за часовой

хt = уt + 360

t = 360/(х – у)

t = 360/(6 – 0,5)

t = 720/11 = (65 + 5/11)

Ответ: 720/11 мин

б) В некоторых часах секундная стрелка, как и минутная, закреплена на оси, расположенной в центре циферблата. Через сколько секунд после совпадения этих стрелок они впервые вновь совпадут?

Решение

х – угловая скорость минутной стрелки, град/сек

у – угловая скорость секундной стрелки, град/сек

х = 360/60/60 = 0,1 град/сек

у = 360/60 = 6 град/сек

t – отрезок времени между первым и вторым совпадением стрелок

За это время секундная стрелка сделает полный оборот и начнет гонку за минутной

уt = хt + 360

t = 360/(у – х)

t = 360/(6 – 0,1)

t = 360/5,9 = (61 + 1/59)

Ответ: (61 + 1/59) сек

 

986

а) Во время тренировок два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В. Они двигались с постоянными скоростями и но прибытии соответственно в В и А сразу же повернули обратно. Первая их встреча произошла в 8 км от пункта В, а вторая – в 6 км от А и через 1 ч 20 мин после первой встречи. Найдите расстояние АВ и скорости велосипедистов.

Решение

х –скорость велосипедиста из А

у – скорость велосипедиста из В

р – расстояние между пунктами АВ

t – время движения велосипедистов до момента первой встречи

Время между первой и второй встречами равно 1 ч 20 мин. Тогда время движения велосипедистов до момента первой встречи равно половине этого времени, то есть t = 40 мин = 2/3 ч.

За время t второй велосипедист преодолел расстояние 8 км. Определим его скорость

у = 8/(2/3) = 12

После первой встречи велосипедист из В за 1 ч 20 мин доехал до пункта А и отъехал от него на 6 км, преодолев расстояние 12*4/3 = 16 км. Таким образом, отрезок пути от точки первой встречи до пункта А составляет
16 – 6 = 10 км.

Расстояние АВ = 10 + 8 = 18 км.

Скорость велосипедиста из А

х = 10/t = 10/(2/3) = 15 км/час

Ответ: 18 км, 15 км/час, 12 км/час

б) Две спортсмена во время тренировок по спортивной ходьбе отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В. Каждый шел с постоянной скоростью и, придя в соответствующий пункт, не задерживаясь, повернул обратно. Когда спортсмены встретились на обратном пути, то оказалось, что первый прошел на 3 км больше второго. После этой встречи первый прибыл в А через 2/3. ч, а второй прибыл в В через 1,4 ч. Найдите скорости спортсменов и расстояние АВ.

Решение

х –скорость спортсмена из А

у – скорость спортсмена из В

р – расстояние АВ

t – время движения спортсменов до момента встречи

хt – пройденное расстояние первым спортсменом до встречи

уt – пройденное расстояние вторым спортсменом до встречи

1,4у – пройденное расстояние вторым спортсменом от точки встречи до В

2х/3 – пройденное расстояние первым спортсменом от точки встречи до А

Составим уравнения

хt + уt = 3р                   (1)

Когда спортсмены встретились на обратном пути, то оказалось, что первый прошел на 3 км больше второго.

хt – уt = 3            (2)

1,4у + 2х/3 = р             (3)

1,4у – 2х/3 = 3             (4)

Из второго уравнения

t = 3/(х – у)

подставляем в первое

(х + у)/(х – у) = р

подставляем в третье

1,4у + 2х/3 = (х + у)/(х – у)

Из четвертого уравнения

подставляем в предыдущее

(9 + 4х)/3 = (6,2х + 9)/(2,2х – 9)

22х² – 87х – 108 = 0

D = b² – 4ac = (–87)² + 4•22•108 = 31329

Квадратный корень из D = 177

х₁ = (–b – D) / 2 a = (87 – 177) / 44 = - 45/22

х₂ = (–b + D) / 2 a = (87 + 177) / 44 =  6

Принимаем х = 6

у = (9 + 2х)/4,2 = (9 + 2*5)/4,2 = 5

р = 1,4у + 2х/3 = 1,4*5 + 2*6/3 = 11

Ответ: 6 км/час, 5 км/час, 11 км.

 

987

а) Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист. Через 2 ч из А в В выехал автомобиль, который прибыл в В одновременно с мотоциклистом. Если бы автомобиль и мотоцикл одновременно выехали из А в В навстречу друг другу; то они встретились бы через 1 ч 20 мин после выезда. Сколько времени провел в пути из А в В мотоцикл, если скорости автомобиля и мотоцикла постоянные?

Решение

Путь АВ примем равным 1

х – время мотоциклиста на путь АВ

у – время автомобилиста на путь АВ

Через 2 ч из А в В выехал автомобиль, который прибыл в В одновременно с мотоциклистом. Можем записать уравнение

х – у = 2              (1)

Если бы автомобиль и мотоцикл одновременно выехали из А и В навстречу друг другу; то они встретились бы через 1 ч 20 мин после выезда.

(1/х + 1/у)4/3 = 1          (2)

Из первого уравнения х = (у + 2) подставим во второе

(1/(у + 2) + 1/у)4/3 = 1

3у² – 2у – 8 = 0

D = b² – 4ac = (-2)² + 4•3•8 = 100

Квадратный корень из D = 10

у₁ = (–b – D) / 2 a = (2 – 10) / 6 = -4/3

у₂ = (–b + D) / 2 a = (2 + 10) / 6 = 2

Принимаем у = 2

х = (у + 2)= 2 + 2 = 4

Ответ: 4 часа.

б) Трое рабочих должны сделать 80 одинаковых деталей. Работая вместе, эти рабочие могут сделать 20 деталей за 1 ч. К работе приступил сначала первый рабочий. Он сделал 20 деталей, затратив на это 3 ч, а оставшуюся часть работы выполнили вместе второй и третий рабочие. На всю работу ушло 8 ч. Сколько часов потребовалось бы первому рабочему на всю работу, если бы он ее выполнил один?

Решение

х – производительность первого рабочего, дет/час

у – производительность второго рабочего, дет/час

р – производительность третьего рабочего, дет/час

Работая вместе, эти рабочие могут сделать 20 деталей за 1 ч

20/(х + у + р) = 1                   (1)

К работе приступил сначала первый рабочий. Он сделал 20 деталей, затратив на это 3 ч

20/х = 3               (2)

Оставшуюся часть работы выполнили вместе второй и третий рабочие. На всю работу ушло 8 ч.

60/(у + р) = 8                (3)

Из второго уравнения х = 20/3

Из третьего уравнения (у + р) = 60/8 подставляем в первое

20/(х + 60/8) = 1

160 = 8х + 60

8х = 100

х = 12,5

Сколько часов потребовалось бы первому рабочему на всю работу, если бы он ее выполнил один?

80/12,5 = 6,4

Ответ: 6,4 час = 6 ч 24 мин

 

988

а) Из города А в город В, расстояние между которыми 110 км, на машине отправился курьер. Через 0,2 ч после этого вслед за ним выехал мотоциклист, который, догнав курьера и передав ему дополнительное поручение, немедленно с той же скоростью двинулся обратно и возвратился в А в тот момент, когда курьер прибыл в В. Какова скорость курьера, если скорость мотоциклиста равна 60 км/ч?

Решение

х – скорость мотоциклиста

у – время движения мотоциклиста к мотенту встречи с курьером

Мотоциклист, догнав курьера и передав ему дополнительное поручение, немедленно с той же скоростью двинулся обратно. и возвратился в А в тот момент, когда курьер прибыл в В.

х(0,2 + у) = 60у            (1)

Возвратился мотоциклист в А в тот момент, когда курьер прибыл в В.

х(0,2 + 2у) = 110          (2)

Из второго уравнения х = 110/(0,2 + 2у) подставляем в первое

110(0,2 + у) = 60у(0,2 + 2у)

60у² – 49у – 11 = 0

D = b² – 4ac = (-49)² + 4•60•11 = 5041

Квадратный корень из D = 71

у₁ = (–b – D) / 2 a = (49 – 71) / 120 = -11/60

у₂ = (–b + D) / 2 a = (49 + 71) / 120 = 1

Принимаем у = 1

х = 110/(0,2 + 2у) = 110/(0,2 + 2*1) = 55

Ответ: 55 км/час.

б) От почтамта А отправилась автомашина с грузом по направлению к сельскому почтовому отделению В. Через 20 мин вслед за ней выехал мотоциклист со скоростью 60 км/ч. Догнав машину и передав шоферу посылку, он тотчас повернул обратно. В момент прибытия машины в В мотоциклист оказался на половине пути от места встречи с автомашиной до почтамта. Найдите скорость автомашины, если путь от почтамта А до почтового отделения В составляет 82,5 км.

Решение

х – скорость автомашины

у – время движения мотоциклиста до мотента встречи с автомашиной

Мотоциклист, догнав машину и передав шоферу посылку, он тотчас повернул обратно.

х(1/3 + у) = 60у            (1)

В момент прибытия машины в В мотоциклист оказался на половине пути от места встречи с автомашиной до почтамта, то есть затратил половину времени до встречи.

х(1/3 + у/2 + у) = 82,5           (2)

Из второго уравнения х = 82,5/(1/3 + 3у/2) подставляем в первое

82,5(1/3 + у) = 60у(1,3 + 3у/2)

36у² – 25у – 11 = 0

D = b² – 4ac = (-25)² + 4•36•11 = 2209

Квадратный корень из D = 47

у₁ = (–b – D) / 2 a = (25 – 47) / 72 = -11/36

у₂ = (–b + D) / 2 a = (25 + 47) / 72 = 1

Принимаем у = 1

х = 82,5/(1/3 + 3у/2) = 82,5/(1/3 + 3/2) = 45

Ответ: 45 км/час.