980

а) На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 1 мин меньше, чем второй. Сколько деталей обрабатывает каждый из них за 0,5 ч, если первый обрабатывает за это время на одну деталь больше, чем второй?

Решение

х – время га обработку одной детали первым рабочим

у – время га обработку одной детали вторым рабочим

30/х – число деталей, обработанных первым рабочим за 30 мин

30/у – число деталей, обработанных вторым рабочим за 30 мин

На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 1 мин меньше, чем второй.

у – х = 1

30/х – 30/у = 1

Из первого уравнения у = (х + 1) подставим во второе

30/х – 30/(х + 1)  = 1

х² + х – 30 = 0

D = b² – 4ac = (1)² + 4•1•30 = 121

Квадратный корень из D = 11

х₁ = (–b – D) / 2 a = ( -1 – 11) / 2 = -6

х₂ = (–b + D) / 2 a = (-1 + 11) / 2 = 5

Принимаем х = 5.

у = х + 1 = 5 + 1 = 6

30/х = 30/5 = 6

30/у = 30/6 = 5

Ответ: 6 дет, 5 дет.

6) На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 2 мин больше, чем второй. Сколько деталей обрабатывает каждый из них за 1 ч, если первый обрабатывает за это время на одну деталь меньше, чем второй?

Решение

х – время га обработку одной детали первым рабочим

у – время га обработку одной детали вторым рабочим

60/х – число деталей, обработанных первым рабочим за 60 мин

60/у – число деталей, обработанных вторым рабочим за 60 мин

На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 2 мин больше, чем второй.

х – у = 2

60/у – 60/х = 1

Из первого уравнения х = (у + 2) подставим во второе

60/у – 60/(у + 2)  = 1

у² + 2у – 120 = 0

D = b² – 4ac = (2)² + 4•1•120 = 484

Квадратный корень из D = 22

у₁ = (–b – D) / 2 a = ( -2 – 22) / 2 = -12

у₂ = (–b + D) / 2 a = (-2 + 22) / 2 = 10

Принимаем у = 10.

х = у + 2 = 10 + 2 = 12

60/х = 60/12 = 5

60/у = 60/10 = 6

Ответ: 6 дет, 5 дет.

 

981

а) Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 20 км, и встречаются через час после отправления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 3 ч 45 мин раньше, чем пешеход в В. Найдите скорость пешехода и велосипедиста.

Решение

х – скорость пешезода

у – скорость велосипедиста

Пешеход и велосипедист встречаются через час после отправления

1х – путь пешехода за 1 час

1у – путь велосипедиста за 1 час

1х + 1у = 20                 (1)

1у/х – время пешехода на втором участке дороги

1х/у – время велосипедиста на втором участке дороги

(1у/х + 1) – время пешехода на участке дороги из А в Б

(1х/у + 1) – время велосипедиста на участке дороги из Б в А

Велосипедист прибывает в А на 3 ч 45 мин раньше, чем пешеход в В.

(1у/х + 1) – (1х/у + 1) = 15/4          (2)

Из первого уравнения х = (20 – у) подставляем во второе

(1у/(20 – у)  + 1) – (1х/(20 – у) + 1) = 15/4

3у² – 28у – 320 = 0

D = b² – 4ac = (-28)² + 4•3•320 = 4624

Квадратный корень из D = 68

у₁ = (–b – D) / 2 a = (28 – 68) / 6 = -20/3

у₂ = (–b + D) / 2 a = (28 + 68) / 6 = 16

Принимаем у = 16

х = (20 – у) = 20 – 16 = 4

Ответ: 4 км/ч, 16 км/ч.

б) Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми 28 км, отправляются в одно и то же время два автомобиля навстречу друг другу. Автомобиль, вышедший из А, приходит в В через 10 мин после встречи, а другой автомобиль приходит в А через 9 мин после встречи. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение

х – скорость пешезода

у – скорость велосипедиста

Пешеход и велосипедист встречаются через час после отправления

1х – путь пешехода за 1 час

1у – путь велосипедиста за 1 час

1х + 1у = 20                 (1)

1у/х – время пешехода на втором участке дороги

1х/у – время велосипедиста на втором участке дороги

(1у/х + 1) – время пешехода на участке дороги из А в Б

(1х/у + 1) – время велосипедиста на участке дороги из Б в А

Велосипедист прибывает в А на 3 ч 45 мин раньше, чем пешеход в В.

(1у/х + 1) – (1х/у + 1) = 15/4          (2)

Из первого уравнения х = (20 – у) подставляем во второе

(1у/(20 – у)  + 1) – (1х/(20 – у) + 1) = 15/4

3у² – 28у – 320 = 0

D = b² – 4ac = (-28)² + 4•3•320 = 4624

Квадратный корень из D = 68

у₁ = (–b – D) / 2 a = (28 – 68) / 6 = -20/3

у₂ = (–b + D) / 2 a = (28 + 68) / 6 = 16

Принимаем у = 16

х = (20 – у) = 20 – 16 = 4

Ответ: 4 км/ч, 16 км/ч.

 

982

а) Из двух различных пунктов одновременно в направлении пункта N отправляются два судна А и В и движутся равномерно и прямолинейно. В момент отправления треугольник ABN равносторонний. После того как первое судно прошло 80 км, треугольник A1B1N стал прямоугольным. В момент прибытия первого судна в пункт назначения второму остается пройти 60 км с пункта В2. Найдите расстояние между пунктами отправления судов.

Решение

х – скорость первого судна

у – скорость второго судна

z – длина стороны равностороннего треугольника

А1N = z – 80

Катет, лежащий против угла 30⁰, равен половине гипоненузы

В1N = 2(z – 80)

В момент прибытия первого судна в пункт назначения второму остается пройти 60 км с пункта В2

z/х = (z – 60)/у              (1)

ВВ1 = ВN – В1N = z – 2(z – 80) = 160 – z

После того как первое судно прошло 80 км, треугольник A1B1N стал прямоугольным

80/х = (160 – z)/у                   (2)

Перепишем первое и второе уравнения

у/х = (z – 60)/z              (1)

у/х = (160 – z)/80                   (2)

(z – 60)/z = (160 – z)/80

80(z – 60) = (160 – z) z

z² – 80z – 4800 = 0

D = b² – 4ac = (-80)² + 4•1•4800 = 25600

Квадратный корень из D = 160

z₁ = (–b – D) / 2 a = (80 – 160) / 2 = -40

z₂ = (–b + D) / 2 a = (80 + 160) / 2 = 120

Принимаем z = 120

Ответ: 120 км.

б) Из двух различных пунктов одновременно в направлении пункта А по прямолинейным дорогам отправляются автомобиль В и велосипедист С, которые движутся с постоянными скоростями. В момент отправления треугольник ABC прямоугольный. После того кок автомобиль проехал 25 км, треугольник AB1C1 стал равносторонним. Найдите расстояние между пунктами отправления, если в момент прибытия автомобиля в пункт А велосипедисту остается проехать еще 12 км с точки С2.

Решение

х – скорость автомобиля

у – скорость велосимедиста

Примем длину гипотенузы

АВ = р

АС = р/2 – против угла в 30⁰

СС1 = р/2 – (р – 25) = 25 – р/2

СС2 = р/2 – 12

В момент прибытия автомобиля в пункт А велосипедисту остается проехать еще 12 км с точки С2

25/х = (25 – р/2)/у                 (1)

р/х = (р/2 – 12)/у                   (2)

Перепишем данные уравнения

у/х = (25 – р/2)/25                 (1)

у/х = (р/2 – 12)/р                   (2)

(р/2 – 12)/р = (25 – р/2)/25

р² – 25р – 600 = 0

D = b² – 4ac = (-25)² + 4•1•600 = 3025

Квадратный корень из D = 55

р₁ = (–b – D) / 2 a = (25 – 55) / 2 = -15

р₂ = (–b + D) / 2 a = (25 + 55) / 2 = 40

Принимаем АВ = р = 40

Расстояние между пунктами отправления СВ = АВсоs30⁰ = 40 соs30⁰

Ответ: 40 соs30⁰.

 

983

а) Два туриста идут друг другу навстречу из двух различных пунктов А и В с постоянными скоростями. Первый выходит из А на 1 ч позже, чем второй из пункта В, и при встрече оказывается, что он прошел на 6 км меньше второго. Не останавливаясь, туристы продолжили свое движение, и первый прибыл в В через 2,5 ч, а второй — в А через 0,8 ч после встречи. Найдите скорость каждого туриста.

Решение

х – скорость пешехода из пункта А

у – скорость пешехода из пункта В

р – время движения пешехода из А до встречи с пешеходом из В

(р + 1) – время движения пешехода из В до встречи с пешеходом из А

(р + 1)у – расстояние, пройденное пешеходом из В до встречи

рх – расстояние, пройденное пешеходом из А до встречи

Первый выходит из А на 1 ч позже, чем второй из пункта В, и при встрече оказывается, что он прошел на 6 км меньше второго.

(р + 1)у – рх = 6                    (1)

(р + 1)у/х – время движения пешехода из пункта А после встречи

рх/у – время движения пешехода из пункта В после встречи

Не останавливаясь, туристы продолжили свое движение, и первый прибыл в В через 2,5 ч, а второй — в А через 0,8 ч после встречи.

(р + 1)у/х = 2,5             (2)

рх/у = 0,8                     (3)

Из второго уравнения у/х = 2,5/(р + 1)

Из третьего уравднения у/х = р/0,8

Решая последние два уравнения, получаем следующее квадратное уравнение

р² + р – 2 = 0

D = b² – 4ac = (1)² + 4•1•2 = 9

Квадратный корень из D = 3

р₁ = (–b – D) / 2 a = (-1 – 3) / 2 = -2

р₂ = (–b + D) / 2 a = (-1 + 3) / 2 = 1

Имеем время движения первого пешехода до встречи р = 1 час

Из первого уравнения у = (6 + х)/2 подставляем в третье. Откуда

х = 4

у = (6 + х)/2 = 5

Ответ: 4 км/ч, 5 км/ч

б) Из пунктов А и В выезжают с постоянными скоростями навстречу друг другу два велосипедиста. Первый выезжает из пункта А на 0,5 ч раньше, чем второй из пункта В, и при встрече оказывается, что он проехал 13,3 км больше второго. Не останавливаясь, велосипедисты продолжали свое движение. Первый прибыл в В через 28 мин, а второй в А - через 1,8 ч после встречи. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Решение

х – скорость велосипедиста из пункта А

у – скорость велосипедиста из пункта В

(р + 0,5) – время движения велосипедиста из А до встречи

р – время движения велосипедиста из В до встречи

(р + 0,5)х – расстояние, пройденное велосипедистом из А до встречи

ру – расстояние, пройденное велосипедистом из В до встречи

Первый выезжает из пункта А на 0,5 ч раньше, чем второй из пункта В, и при встрече оказывается, что он проехал 13,3 км больше второго.

(р + 0,5)х – ру = 13,3            (1)

(р + 0,5)х/у – время движения пешехода из пункта В после встречи

ру/х – время движения пешехода из пункта А после встречи

Не останавливаясь, велосипедисты продолжали свое движение. Первый прибыл в В через 28 мин, а второй в А - через 1,8 ч после встречи.

(р + 0,5)х/у = 1,8                   (2)

ру/х = 7/15                   (3)

Из второго уравнения у/х = (р + 0,5)/1,8

Из третьего уравднения у/х = 7/15р

Решая последние два уравнения, получаем следующее квадратное уравнение

15р² + 7,5р – 12,6 = 0

D = b² – 4ac = (7,5)² + 4•15•12,6 = 812,25

Квадратный корень из D = 28,5

р₁ = (–b – D) / 2 a = (-7,5 – 28,5) / 30 = -1,2

р₂ = (–b + D) / 2 a = (-7,5 + 28,5) / 30 = 0,7

Имеем время движения второгг велосипедиста до встречи р = 0,7 час

Ответ: 4 км/ч, 5 км/ч