973

а) Две точки движутся по окружности длиной 1,2 м с постоянными скоростями. При движении в разных направлениях они встречаются через каждые 15 с. При движении в одном направлении одна точка догоняет другую через каждую минуту. Найдите скорость движения каждой точки.

Решение

х – скорость первой точки

у – скорость второй точки

При движении в разных направлениях они встречаются через каждые 15 с.

15х – пройденный путь первой точкой за 15 секунд

15у – пройденный путь второй точкой за 15 секунд

Можем составить уравнение

15х + 15у = 1,2            (1)

Пусть х < у

При движении в одном направлении одна точка догоняет другую через каждую минуту

60у – 60х = 1,2            (2)

Из первого уравнения, умноженного на 4, вычитаем второе уравнение. Имеем

120х = 3,6

х = 0,03

Из второго уравнения

у = (1,2 + 60х)/60 = (1,2 + 60*0,03)/60 = 0,05

Ответ: 0,03 м/с, 0,05 м/с

 

б) По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный оборот на 5 с скорее другой, при этом Найдите скорость движения каждой точки.

Решение

х – скорость первой точки

у – скорость второй точки

60/х – время движения первой точки за один оборот

60/у – время движения второй точки за один оборот

Можем составить уравнение

Пусть х < у

60/х – 60/у = 5             (1)

Одна догоняет другую через каждую минуту, то есть 60 секунд. При этом точка с большей скоростью пройдет один круг и еще столько, сколько пройдет точка с меньшей скоростью

60у – 60х = 60             (2)

Из второго уравнения у = х + 1 подставляем в первое уравнение

60/х – 60/(х + 1) = 5

12 = х² + х

х² + х – 12 = 0

D = b² – 4ac = (1)² + 4•1•12 = 49

Квадратный корень из D = 7

х₁ = (–b – D) / 2 a = ( -1 – 7) / 2 = -4

х₂ = (–b + D) / 2 a = (-1 + 7) / 2 = 3

Принимаем скорость первой точки х = 3. Тогда скорость второй точки

у = х + 1 = 3 + 1 = 4

Ответ: 3 м/с, 4 м/с.

 

974

а) Зарплата лаборанта составляет 440 руб. в месяц. После двух последовательных повышений на одно и то же число.. процентов она стала составлять 532,4 руб. На сколько процентов каждый раз повышалась заработная плата лаборанта?

Решение

х – процент повышения заработной платы

440х – величина зарплаты после первого повышения

(440х)х – величина зарплаты после второго повышения

Имеем

(440х)х = 532,4

х*х = 532,4/440

х = 1,1

Ответ: 110 %

 

 

6) После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов стоимость товара с 4 руб. снизилась до 3 р.24-к. На сколько процентов снижалась стоимость товара каждый раз?

Решение

(1 – х) – процент понижения заработной платы

4(1 – х)  – величина зарплаты после первого понижения

4(1 – х)(1 – х) – величина зарплаты после второго понежения

Имеем

4(1 – х)(1 – х) = 3,24

(1 – х)(1 – х) = 3,24/4

(1 – х) (1 – х)  = 0,81

(1 – х) = 0,9

х = 0,1

Ответ: 10 %

 

 

975

а) В двух различных сплавах медь и цинк относятся соответственно, как 5:2 и 3:4 (по массе). Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы после совместной переплавки получить 28 кг нового сплава с разным содержанием меди и цинка?

Решение

Наименьшее кратное отношений 5:2 и 3:4 есть число 7. Таким образом, если первого сплава брать массой 7 кг, то масса второго сплава 28 – 7 = 21 кг. Из первого сплава получаем 5 кг меди и 2 кг цинка. Из второго куска сплава имеем 9 кг меди и 12 кг цинка. После совместной переплавки получаем 14 кг меди и 14 кг цинка. Данное сочетание не удовлетворяет условию задачи. Первого сплава и второго сплава берем по 14 кг. Тогда имеем – 16 кг меди и 12 кг цинка.

Ответ: 14 кг, 14кг; или 21 кг из первого куска, 7 кг из второго куска.

 

б) В двух различных сплавах золото и серебро относятся соответственно как 1:2 и 2:3 (по массе). Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы после совместной переплавки получить 19 г нового сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 7:12?

Решение

х – масса золота в сплаве

у – масса серебра в сплаве

19 г сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 7:12. Можем определить массу золота и серебра в отдельности одной части

19/(7 + 12) = 1

Таким образом – золота 7*1 = 7 г., серебра 12*1 = 12 г.

Первого сплава берем 9 г., а второго – 10 г..

Ответ: 9 г, 10 г.

 

976

а) Мотоциклист и велосипедист совершили двухчасовую безостановочную поездку. При этом мотоциклист проезжал каждый километр на 4 мин быстрее, чем велосипедист. Найдите скорости каждого, если расстояния, пройденные каждым из них за 2 ч, отличаются на 40 км.

Решение

х – скорость велосипедиста

у – скорость мотоциклиста

Мотоциклист проезжал каждый километр на 4 мин быстрее, чем велосипедист. 4 мин = 1/15 ч

1/х – 1/у = 1/15            (1)

Расстояния, пройденные каждым из них за 2 ч, отличаются на 40 км.

2у – 2х = 40                 (2)

Из второго уравнения у = 20 + х подставим в первое

1/х – 1/(20 + х) = 1/15

х² + 20х – 300 = 0

D = b² – 4ac = (20)² + 4•1•300 = 1600

Квадратный корень из D = 40

х₁ = (–b – D) / 2 a = ( -20 – 40) / 2 = -30

х₂ = (–b + D) / 2 a = (-20 + 40) / 2 = 10

Принимаем скорость велосипедиста х = 10. Тогда скорость мотоциклиста

у = х + 20 = 10 + 20 = 30

Ответ: 10 км/ч, 30 км/ч.

 

б) Первая из двух машинисток тратит на перепечатку одной страницы на 3 мин меньше, чем вторая. Сколько страниц напечатает каждая из них за 1 ч работы, если в течение 1,5 ч одна из машинисток напечатает на 5 страниц больше другой?

Решение

х – время перепечатки одной страницы первой машинисткой

у – время перепечатки одной страницы второй машинисткой

Первая из двух машинисток тратит на перепечатку одной страницы на 3 мин меньше, чем вторая.

у – х = 3              (1)

В течение 1,5 ч одна из машинисток печатает на 5 страниц больше другой

90/х – 90/у = 5             (2)

Из первого уравнения у = 3 + х подставим во второе

90/х – 90/(3 + х) = 5

х² + 3х – 54 = 0

D = b² – 4ac = (3)² + 4•1•54 = 225

Квадратный корень из D = 15

х₁ = (–b – D) / 2 a = ( -3 – 15) / 2 = -9

х₂ = (–b + D) / 2 a = (-3 + 15) / 2 = 6

Принимаем время перепечатки одной страницы первой машинисткой х = 6. Тогда время перепечатки одной страницы второй машинисткой

у = х + 3 = 6 + 3 = 9

Число страниц напечатанных каждой из них в течение одного часа.

60/х = 60/6 = 10

60/у = 60/9 = 20/3

Ответ: 10, 20/3.

 

 

977

а) В резервуар проведены три трубы. Через первую и вторую в него наливается жидкость, а через третью выливается. Если в наполненном резервуаре одновременно открыть третью и первую трубу, то вся жидкость выливается за 40 мин, если открыть третью и вторую — за 50 мин, если только третью — за 24 мин. За сколько минут выльется жидкость из наполненного резервуара, если будут открыты одновременно три трубы?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первой трубой

у – время на всю работу второй трубой

z – время на всю работу третьей трубой

1/х – производительность первой трубы

1/у – производительность второй трубы

1/z – производительность третьей трубы

Если в наполненном резервуаре одновременно открыть третью и первую трубу, то вся жидкость выливается за 40 мин

(1/z – 1/х)40 = 1           (1)

Если в наполненном резервуаре одновременно открыть третью и вторую трубу, то вся жидкость выливается за 50 мин

(1/z – 1/у)50 = 1           (2)

Если только третью — за 24 мин

(1/z)24 = 1           (3)

Из третьего уравнения находим z = 24

Из первого уравнения, с учетом значения z находим

1/х = 1/24 – 1/40 = 1/60

х = 60

Из второго уравнения находим

1/у = 1/24 – 1/50 = 13/600

у = 600/13

За сколько минут выльется жидкость из наполненного резервуара, если будут открыты одновременно три трубы?

1/z – 1/х – 1/у = 1/24 – 1/60 – 13/600 = 1/300

Ответ 300 мин = 5 час.

 

б) В бассейн для наполнения его водой проведены три трубы. Первая и вторая вместе наполняют его за 1,2 ч, вторая и третья - за 2 ч, а первая и третья - за 1 ч 30 мин. За сколько времени наполнится бассейн, если открыть все три трубы?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первой трубой

у – время на всю работу второй трубой

z – время на всю работу третьей трубой

1/х – производительность первой трубы

1/у – производительность второй трубы

1/z – производительность третьей трубы

Первая и вторая вместе наполняют его за 1,2 ч

(1/х + 1/у)1,2 = 1          (1)

Вторая и третья - за 2 ч,.

(1/у + 1/z)2 = 1             (2)

Первая и третья - за 1 ч 30 мин.

(1/х + 1/z)1,5 = 1          (3)

Из второго уравнения находим

1/z = (у – 2)/2у

z = 2у/(у – 2)

Подставляем в третье

(1/х + 1/2у/(у – 2))1,5 = 1

Отсюда

1/х = 2/3 – 1/2у/(у – 2) подставляем в первое

(2/3 – 1/2у/(у – 2) + 1/у)1,2 = 1

(2/3 –(у – 2)/2у + 1/у) = 5/6

у + 12 = 5у

4у = 12

у = 3

1/х = 2/3 – 1/2у/(у – 2) = 2/3 – (у – 2)/2у = 2/3 – (3 – 2)/2*3 = 1/2

х = 2

1/z = (у – 2)/2у = (3 – 2)/2*3 = 1/6

z = 6

За сколько времени наполнится бассейн, если открыть все три трубы?

1/х + 1/у + 1/z = 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1

Ответ 1 час.

 

 

978

а) Найдите скорость и длину поезда, зная, что он проходит с постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы проехать с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м.

Решение

х – скорость поезда

р – длина поезда

р/х – время движения поезда мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с

(378 + р)/х – время движения поезда вдоль платформы в течение 25 с

Составим уравнения

р/х = 7

(378 + р)/х = 25

378/х + р/х = 25

378/х + 7 = 25

х = 378/18

х = 21

Скорость поезда 21 м/с = 75,6 км/ч

Длина поезда р = 7х = 7*21 = 147 м

Ответ 75,6 км/час, 147 м.

 

б) Найдите скорость и длину поезда, зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение. 9 с и затратил 31,5 с на то, чтобы проехать с той же скоростью вдоль платформы длиной 405 м.

Решение

х – скорость поезда

р – длина поезда

р/х – время движения поезда мимо неподвижного наблюдателя в течение 9 с

(405 + р)/х – время движения поезда вдоль платформы в течение 31,5 с

Составим уравнения

р/х = 9

(405 + р)/х = 31,5

405/х + р/х = 31,5

405/х + 9 = 31,5

х = 405/22,5

х = 18

Скорость поезда 18 м/с = 54,8 км/ч

Длина поезда р = 9х = 9*18 = 162 м

Ответ 54,8 км/час, 162 м.

 

 

979

а) Расстояние 450 км один из поездов проходит на 1,5 ч быстрее другого. Найдите скорость каждого поезда, если известно, что первый проходит 240 км за то же время, что второй проходит 200 км.

Решение

х – скорость первого поезда

у – скорость второго поезда

Пусть х>у

450/х – время движения первого поезда

450/у – время движения второго поезда

Расстояние 450 км один из поездов проходит на 1,5 ч быстрее другого

450/у – 450/х = 1,5                (1)

Известно, что первый проходит 240 км за то же время, что второй проходит 200 км

240/х = 200/у               (2)

Из второго уравнения х = 1,2у подставляем в первое

450/у – 450/1,2у = 1,5

у = 90

х = 1,2у = 1,2*90 = 108

Ответ 108 км/час, 90 км/ч.

 

 

б) Расстояние, равное 840 км, один из поездов проходит на 2 ч быстрее другого. В то время как первый поезд проходит 63 км, второй проходит 54 км. Сколько времени тратит каждый поезд на прохождение этого расстояния?

Решение

х – скорость первого поезда

у – скорость второго поезда

Пусть х>у

840/х – время движения первого поезда

840/у – время движения второго поезда

Расстояние 840 км один из поездов проходит на 2 ч быстрее другого

840/у – 840/х = 2                   (1)

Первый поезд проходит 63 км, второй проходит 54 км за одно и тоже время

63/х = 54/у                   (2)

Из второго уравнения х = 7у/6 подставляем в первое

840/у – 840/7у/6 = 1,5

у = 80

х = 7у/6 = 7*80/6 = 105

Ответ 105 км/час, 80 км/ч.