967

а) Смесь, состоящая из двух веществ, имеет массу 900 г. После того как из нее выделили 5/6 первого вещества и 70% второго, в ней осталось первого вещества на 18 г меньше, чем второго. Сколько каждого вещества осталось в смеси?

Решение

х – масса первого вещества

у – масса второго вещества

Смесь, состоящая из двух веществ, имеет массу 900 г.

х + у = 900          (1)

После того как из нее выделили 5/6 первого вещества и 70% второго, в ней осталось первого вещества на 18 г меньше, чем второго

(1/6)х – остаток первого вещества

0,3у – остаток второго вещества

0,3у – (1/6)х = 18                  (2)

Второе уравнение умножим 30

9у – 5х = 540

Из первого уравнения х = 900 – у подставляем во второе

9у – 5(900 – у) = 540

14у = 5040

у = 360

х = 900 – у = 900 – 360 = 540

Ответ: 540 г, 360 г.

б) Сплав меди и цинка содержал меди на 640 г больше, чем цинка. После того как из сплава выделили 6/7, содержащейся в нем меди и 60% цинка, вес сплава оказался равным 200 г. Сколько весил сплав первоначально?

Решение

х – масса меди в сплаве

у – масса цинка в сплаве

Сплав меди и цинка содержал меди на 640 г больше, чем цинка

х – у = 640          (1)

После того как из сплава выделили 6/7, содержащейся в нем меди и 60% цинка, вес сплава оказался равным 200 г.

(1/7)х – остаток меди

0,4у – остаток цинка

(1/7)х + 0,4у = 200                (2)

Второе уравнение умножим 70

10х + 28у = 1400

Из первого уравнения х = 640 + у подставляем во второе

10(640 + у) + 28у = 1400

38у = 7600

у = 200

х = 640 + у =640 + 200 = 840

Ответ: 840 г, 200 г.

 

968

а) Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавлен со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько серебра в сплаве?

Решение

х – масса  сплава

у – масса серебра в сплаве

Сплав золота с серебром содержал 80 г золота

80/х –  первоначальная доля золота в сплаве

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавлен со 100 г чистого золота

х + 100 – масса сплава повсле добавления 100 г чистого золота

180/(х + 100) – доля золота после сплавления

В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%.

180/(х + 100) – 80/х = 0,2

х² – 400х +40000 = 0

D = b² – 4ac = (–400)² – 4•1•40000 = 0

Квадратный корень из D = 0

х = (–b – D) / 2 a = (400 – 0) / 2 = 200

у = 200 – 80 = 120

Ответ: 120 г.

б) Сплав меди и олова, содержащий меди на 12 кг больше, чем олова, сплавили с 4 кг чистой меди. В результате содержание олова в сплаве понизилось на 2,5%. Сколько олова содержится в сплаве?

Решение

х – масса  сплава

у – масса серебра в сплаве

Сплав золота с серебром содержал 80 г золота

80/х –  первоначальная доля золота в сплаве

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавлен со 100 г чистого золота

х + 100 – масса сплава повсле добавления 100 г чистого золота

180/(х + 100) – доля золота после сплавления

В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%.

180/(х + 100) – 80/х = 0,2

х² – 400х +40000 = 0

D = b² – 4ac = (–400)² – 4•1•40000 = 0

Квадратный корень из D = 0

х = (–b – D) / 2 a = (400 – 0) / 2 = 200

у = 200 – 80 = 120

Ответ: 120 г.

 

969

а) В цистерне находилась концентрированная серная кислота, содержащая 2 т воды. После того как эту кислоту смешали с 10 т воды, концентрация ее понизилась на 16%. Сколько концентрированной серной кислоты содержалось в цистерне?

Решение

х – масса  кислоты в цистерне

х/(х + 2) – первоначальная концентрация кислоты

После того как эту кислоту смешали с 10 т воды, концентрация ее понизилась на 16%.

х/(х + 12) – концентрация кислоты после добавления 10 т воды

х/(х + 2) – х/(х + 12) = 0,16

2х² – 97х + 48 = 0

D = b² – 4ac = (–97)² – 4•2•48 = 9025

Квадратный корень из D = 95

х₁ = (–b – D) / 2 a = (97 – 95) / 4 = 0,5

х₂ = (–b + D) / 2 a = (97 + 95) / 4 =  48

Ответ: 48 т.

б) Для получения соляной кислоты в некотором количестве воды, налитой в реторту, растворили 20 кг хлористого водорода. Затем, чтобы повысить концентрацию полученной кислоты на 25%, в ней растворили еще 90 кг хлористого водорода. Сколько соляной кислоты получилось в реторте?

Решение

х – масса воды в реторте

20/(х + 20) – первоначальная концетрация соляной кислоты

Затем, чтобы повысить концентрацию полученной кислоты на 25%, в ней растворили еще 90 кг хлористого водорода.

110/(х + 110) – концетрация соляной кислоты после добавления 90 кг хлористого водорода

110/(х + 110) – 20/(х + 20) = 0,25

х² – 230х + 2200 = 0

D = b² – 4ac = (–230)² – 4•1•2200 = 44100

Квадратный корень из D = 210

х₁ = (–b – D) / 2 a = (230 – 210) / 2 = 10

х₂ = (–b + D) / 2 a = (230 + 210) / 2 =  220

х₁ + 110 = 10 + 110 = 120

х₂ + 110 = 220 + 110 = 330

Ответ: 120 кг, 330 кг.

 

970

а) Один раствор содержит 30% (по объему) азотной кислоты, а второй — 55% азотной кислоты. Сколько нужно взять первого в второго растворов, чтобы получить 100 л 50%-ного раствора азотной кислоты?

Решение

х – объем 30%–го раствора азотоной кислоты

у – объем 55%–ного раствора азотоной кислоты

Сколько нужно взять первого в второго растворов, чтобы получить 100 л 50%-ного раствора азотной кислоты?

х + у = 100          (1)

В 100 литрах 50%-ного раствора азотной кислоты содержится 100*0,5 = 50 л кислоты. Составим второе уравнение

0,3х + 0,55у = 50                   (2)

Из первого уравнения х = 100 – у подставим во второе и решим его

5у = 400

у = 80

х = 100 – у = 100 – 80 = 20

Ответ: 20 л, 80 л.

б) Имеется 5 л 70%-ного раствора серной кислоты. Сколько литров 80%-ного раствора серной кислоты нужно долить в этот раствор, чтобы получить 72-%-ный раствор серной кислоты?

Решение

5 – объем 70%–го раствора серной кислоты

у – объем 80%–ного раствора серной кислоты

х – объем 72%–ного раствора серной кислоты

5 + у = х              (1)

В 5 л 70%-ного раствора имеется 5*0,7 = 3,5 литров серной кислоты.

В у литрах 80%-ного раствора имеется 0,8у литров серной кислоты.

В х литрах 72%-ного раствора имеется 0,72х литров серной кислоты.

Составим второе уравнение

3,5 + 0,8у = 0,72х                  (2)

Из первого уравнения умтоженного на 0,8 вытчем  второе и решим его

0,5 = 0,08х

х = 6,25

Из первого уравнения

у = 6,25 – 5 = 1,25

Ответ: 1,25 л.

 

971

а) К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после  чего его концентрация уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и, какова была его концентрация?

Решение

х – масса воды в первоначальном растворе

х + 200 – масса воды в растворе после добавки 200 грамм воды

40/х – начальная концентрция раствора

40/(х + 200) – конечная концентрция раствора

К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после  чего его концентрация уменьшилась на 10%.

40/х – 40/(х + 200) = 0,1

х² + 200х – 8000 = 0

D = b² – 4ac = (200)² + 4•1•8000 = 360000

Квадратный корень из D = 600

х₁ = (–b – D) / 2 a = ( -200 – 600) / 2 = -400

х₂ = (–b + D) / 2 a = (-200 + 6000) / 2 = 200

Ответ: 200 г.

б) Кусок сплава меди и цинка массой в 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы получить новый сплав, содержащий 60% меди?

Решение

36 – масса сплава меди и цинка

36*0,45 – масса меди, содержащеяся в сплаве

х – добавляемая масса меди

36*0,45 + х – масса меди в сплаве

36 + х – масса сплава с добавкой меди

Чтобы получить новый сплав, содержащий 60% меди, составим уравнение и решим его

(36*0,45 + х)/(36 + х) = 0,6

0,4х = 5,4

х = 13,5

Ответ: 13,5 кг.

 

972

а) В январе производительность труда в цехе завода повысилась на 10% по сравнению с плановой, а в феврале повысилась на 6% по сравнению с январем. На сколько процентов цех перевыполнил план выработки изделий за эти два месяца? (Предполагается, что ежемесячный план на эти два месяца одинаковый).

Решение

х – плановая производительность

В январе производительность труда в цехе завода повысилась на 10% по сравнению с плановой, то есть

х + 0,1х = 1,1х – январьский выпуск продукции

1,1х + 1,1х *0,06 = 1,166х – февральский выпуск продукции

На сколько процентов цех перевыполнил план выработки изделий за эти два месяца?

((1,166х – х)/х)*100 = 16,6

Ответ: 16,6 %

б) В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил план выпуска продукции за эти два месяца? (Предполагается, что ежемесячный план не эти два месяца одинаковый).

Решение

х – плановая производительность

В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска продукции, то есть 1,05х

В феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе, то есть

1,05х + 1,05х*0,04 = 1,092х

На сколько процентов завод перевыполнил план выпуска продукции за эти два месяца?

((1,092х – х)/х)*100 = 9,2

Ответ: 9,2 %