957

а) Задумали целое положительное число. К его записи приписали справа цифру 5 и из получившегося числа вычли квадрат задуманного. Разность разделили на задуманное число, а затем вычли задуманное число. Осталась единица. Какое число задумали?

Решение

х – задумали целое положительное число

х5 = (10х + 5) – к его записи приписали справа цифру 5

(10х + 5) – х² – из получившегося числа вычли квадрат задуманного

((10х + 5) – х²)/х – разность разделили на задуманное число

((10х + 5) – х²)/х – х – 1 – вычли задуманное число. Осталась единица.

2х² – 9х – 5 = 0

D = b² – 4ac = (–9)² + 4•2•5 = 121

Квадратный корень из D = 11

х₁ = (–b – D) / 2 a = (9 – 11) / 4 = –1

х₂ = (–b + D) / 2 a = (9 + 11) / 4 = 5

Ответ 5.

б) Произведение цифр двузначного числа в 3 раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.

Решение

(10х + у) – задумали целое положительное двузначное число

Произведение цифр двузначного числа в 3 раза меньше самого числа

(10х + у)/ху = 3            (1)

Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

(10х + у) + 18 = 10у + х                 (2)

Решаем второе уравнение

10у + х – (10х + у) = 18

у = 2 + х подставляем в первое уравнение и решаем его

3х² – 5х – 2 = 0

D = b² – 4ac = (–5)² + 4•3•2 = 49

Квадратный корень из D = 7

х₁ = (–b – D) / 2 a = (5 – 7) / 6 = –1/3

х₂ = (–b + D) / 2 a = (5 + 7) / 6 = 2

у = 2 + х =4

(10х + у) = 10•2 + 4 = 24

Ответ 24.

 

958

а) Сумма двух трехзначных чисел, записанных одинаковыми цифрами, но в обратном порядке, равна 1252. Найдите эти числа, если сумма цифр каждого из них равна 14, а сумма квадратов цифр равна 84.

Решение

а – число единиц первого и число сотен второго чисел

в – число десятков первого и второго чисел

с – число сотен первого и число единиц второго чисел

Сумма двух трехзначных чисел, записанных одинаковыми цифрами, но в обратном порядке, равна 1252

(100а + 10в + с) + (100с + 10в + а) = 1252                (1)

Сумма цифр каждого из них равна 14

а + в + с = 14                (2)

Сумма квадратов цифр равна 84

а² + в² + с² = 84            (3)

Цифры а и с не равны между собой. Стало быть

а + с = 12 откуда с = (12 – а)                   (4)

Из второго уравнения

в = 14 – 12 = 2

Значения в и с заносим в уравнение (3)

а² + с² = 80

а² + (12 – а)² = 80

а² – 12а + 32 = 0

D = b² – 4ac = (–12)² – 4•1•32 = 16

Квадратный корень из D = 4

а₁ = (–b – D) / 2 a = (12 – 4) / 2 = 4

а₂ = (–b + D) / 2 a = (12 + 4) / 2 = 8

Если, а = 4 то с = 8, иначе если, а = 8 то с = 4.

И так первое число 428, второе 824

Ответ 428, 824.

б) Трехзначное число начинается с цифры 1. Если ее стереть и затем приписать в качестве последней цифры числа, то полученное трехзначное число будет больше первого на 90. Найдите это число.

Решение

а – число единиц второго и число сотен первого чисел

в – число десятков первого и сотен второго чисел

с – число едидниц первого и число десятков второго чисел

Первое число (100а + 10в + с)

Второе число (100в + 10с + а)

Трехзначное число начинается с цифры 1. Перепишем

Первое число (100 + 10в + с)

Второе число (100в + 10с + 1)

Полученное второе трехзначное число будет больше первого на 90.

Имеем 1 – с = 0. Отсюда с = 1

Первое число (100 + 10в + 1)

Второе число (100в + 10 + 1)

(100в + 10 + 1) – (100 + 10в + 1) = 90

90в – 90 = 90

90в = 180

в = 2

Искомое число 121

Ответ: 121

 

959

а) Рабочий изготовил за определенный срок некоторое количество деталей (одинаковых). Если бы он ежедневно изготовлял на 10 деталей больше, то выполнил бы эту работу на 4 дня раньше срока, а если бы он изготовлял на 5 деталей меньше, то работал бы на 3 дня больше назначенного срока. Сколько деталей изготовил рабочий и за какое время выполнил заказ?

Решение

х – количество деталей

у – норма изготовления деталей

х/у – срок изготовления деталей

(у + 10) – увеличенная норма изготовления деталей

(у – 5) – уменьшенная норма изготовления деталей

Если бы он ежедневно изготовлял на 10 деталей больше, то выполнил бы эту работу на 4 дня раньше срока

х/у – х/(у + 10) = 4                (1)

х/(у – 5) – х/у = 3                            (2)

Из первого уравнения х = 0,4у (у + 10)

Из второго уравнения х = 0,6у(у – 5)

0,4у (у + 10) = 0,6у(у – 5)

2у = 70

у = 35

х = 0,6у(у – 5) = 630

х/у = 630/35 = 18

Ответ 630 дет, 18 дней.

б) Один рабочий за выполненную работу получил 45 руб., а второй, работавший на 6 дней больше, чем первый, получил 80 руб. Сколько дней работал каждый рабочий?

Решение

х – количество дней работы первого рабочего

у = (х + 6) – количество дней работы второго рабочего

45/х – дневной заработок первого рабочего

80/(х + 6) – дневной заработок второго рабочего

Если бы первый рабочий работал столько дней, сколько второй, а второй столько, сколько первый, то они получили бы за выполненную работу поровну

(45/х) (х + 6) = 80/(х + 6) х

45(х + 6) /х = 80 х /(х + 6)

45(х + 6)² = 80 х²

7х² – 108х – 324 = 0

D = b² – 4ac = (–108)² + 4•7•324 = 49

Квадратный корень из D = 7

х₁ = (–b – D) / 2 a = (108 – 144) / 14 = –18/7

х₂ = (–b + D) / 2 a = (108 + 144) / 14 = 18

у = х + 6= 18 + 6 = 24

(10х + у) = 10•2 + 4 = 24

Ответ 18, 24.

 

960

а) Чтобы остричь 58 тыс. овец, нужно было работать определенное количество, дней. Применяя электрострижку, остригали ежедневно на 3800 овец больше, чем предусматривалось планом, поэтому выполнили работу на 19 дней раньше намоченного срока. Сколько овец предусматривалось остригать ежедневно и за сколько дней была закончена работа?

Решение

х – количество овец дневной стрижки по плану

(х + 3800) – фактическое количество овец дневной стрижки

58000/х – плановое количество дней для выполнения задания

58000/(х + 3800) – фактическое количество дннц для выполнения задания

58000/х – 58000/(х + 3800) = 19

19х(х + 3800) – 220400000 = 0

19х² + 72200 – 220400000 = 0

D = b² – 4ac = (72200)² + 4•19•220400000 = 21963240000

Квадратный корень из D = 148200

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–72200 – 148200) / 38 = –5800

х₂ = (–b + D) / 2 a = (–72200 + 148200) / 38 = 2000

у = х + 6= 18 + 6 = 24

Ответ 2000, 10.

б) Двое рабочих, имеющих разные разряды, выполнили определенную работу. Первый за выполненную работу получил 72 руб., а второй, работавший на 6 дней меньше, чем первый, получил 48 руб. Если бы второй рабочий работал столько дней, сколько первый, то оба получили бы поровну. Сколько дней работал каждый рабочий?

Решение

х – количество дней работы первого рабочего

у = (х – 6) – количество дней работы второго рабочего

72/х – дневной заработок первого рабочего

48/(х – 6) – дневной заработок второго рабочего

Если бы второй рабочий работал столько дней, сколько первый, то оба получили бы поровну.

72/х = 48 х /(х – 6)

72х – 432 = 48 х

24х = 432

х = 18

у = х – 6= 18 – 6 = 12

Ответ 18, 12.

 

961

а) Машинистка рассчитала: если она будет печатать на 2 страницы больше, чем предусмотрено нормой, то закончит работу на 3 дня раньше намеченного срока. Если же она будет ежедневно печатать на 4 страницы сверх нормы, то закончит работу на 5 дней раньше срока. Сколько страниц должна была напечатать машинистка и за какое время?

Решение

х – плановое количество печатания страниц за день

(х + 2) – первое увеличение печатания страниц за день

(х + 4) – второе увеличение печатания страниц за день

у – общее количество печатания страниц

у/х – плановый срок выполнения работы

у/(х + 2) – срок выполнения работы после первого увеличения нормы

у/(х + 4) – срок выполнения работы после второго увеличения нормы

Машинистка рассчитала: если она будет печатать на 2 страницы больше, чем предусмотрено нормой, то закончит работу на 3 дня раньше намеченного срока.

у/х – у/(х + 2) = 3                  (1)

Если же она будет ежедневно печатать на 4 страницы сверх нормы, то закончит работу на 5 дней раньше срока

у/х – у/(х + 4) = 5                  (2)

Из первого уравнения у = 1,5х(х + 2) подставим во второе

1,5х(х + 2)/х – 1,5х(х + 2)/(х + 4) = 5

6х² + 12х = 5х² + 20х

х² – 8х = 0

х = 8

у = 1,5х(х + 2) = 120

у/х = 120/8 = 15

Ответ 120; 15.

б) Сооружая дом, бригада каменщиков должна была за определенный срок уложить 120 тыс. кирпичей. Бригада выполнила задание на 4 дня раньше срока. Определить, какая была норма ежедневной укладки кирпичей и сколько кирпичей ежедневно укладывала бригада, если известно, что за 3 дня она укладывала на 5000 кирпичей больше, чем намечалось уложить за 4 дня по норме.

Решение

х – плановая укладка кирпичей за день

у – фактическая укладка кирпичей за день

120000/х – плановое число дней укладки кирпичей

120000/у – фактическое число дней укладки кирпичей

Известно, что за 3 дня она укладывала на 5000 кирпичей больше, чем намечалось уложить за 4 дня по норме, то есть

3у – 4х = 5000             (1)

120000/х – 120000/у = 4       (2)

Из первого уравнения у = (5000 + 4х)/3 подставим во второе

120000/х – 120000/(5000 + 4х)/3 = 4

х² – 6250х -37500000 = 0

D = b² – 4ac = (-6250)² + 4•1•37500000 = 189062500

Квадратный корень из D = 13750

х₁ = (–b – D) / 2 a = (6250 – 13750) / 2 = –3750

х₂ = (–b + D) / 2 a = (6250 + 13750) / 2 = 1000

у = (5000 + 4х)/3 = (5000 + 4•1000)/3 = 3000

Ответ 1000; 3000.