952

а) В реку впадает приток. Пароход отходит от пристани А на притоке, идет вниз по течению 80 км до реки, далее по реке вверх против течения до пристани В, затратив на весь путь от А до В 18 ч. Затем пароход возвращается обратно. Время .обратного движения от В до А по тому же пути равно 15 ч. Собственная скорость парохода равна 18 км/ч. Скорость течения реки 3 км/ч. Каково расстояние от пристани А до В и какова скорость притока?

Решение

х – расстояние по реке до пристани В

у – скорость течения притока

80/(18+ у) – время движения парохода по течению притока

х/(18 – 3) – время движения парохода против течения реки до пристани В

х/(18 + 3) – время движения парохода по течению реки от пристани В

80/(18 – у) – время движения парохода против течения притока до пристани А

80/(18+ у) + х/(18 – 3) = 18            (1)

х/(18 + 3) + 80/(18 – у) = 15           (2)

Из первого уравнения

х = (3660 + 270у)/(18 + у) подставляем во второе, получаем

45у² +2880у – 5940 = 0

у² + 64у – 132 = 0

D = b² – 4ac = (64)² + 4•1•132 = 4624

Квадратный корень из D = 68

у₁ = (–b – D) / 2 a = (–64 – 68) / 2 = –66

у₂ = (–b + D) / 2 a = (–64 + 68) / 2 = 2

х = (3660 + 270у)/(18 + у) = 210

Расстояние от пристани А до В 80 + 210 = 290

Ответ 290 км, 2 км/час.

б) В озеро впадают две реки. Лодка отплывает от пристав А на первой реке, плывет 36 км вниз по течению до озера, далее 19 км по озеру (в озере нет течения) и 24 км по второй реке вверх против течения до пристани В, затратив на весь путь от А до В 8 ч. Из этих 8 ч , 2 ч. лодка плывет по озеру. Скорость течения первой реки на 1 км/ч больше скорости течения второй реки. Найдите скорость течения каждой реки (собственная скорость лодки постоянна).

Решение

х – скорость течения второй реки

(х + 1) – скорость течения первой реки

19 км по озеру (в озере нет течения) плывет2 ч.

19/2 = 9,5 – собственная скорость лодки

36/(10,5 + х) – время движения лодки по течению первой реки

24/(9,5 – х) – время движения лодки против течения второй реки

36/(10,5 + х) + 24/(9,5 – х) = 6

36(9,5 – х) + 24(10,5 + х) = 6(9,5 – х) (10,5 + х)

6х² – 6х – 4,5 = 0

4х² – 4х – 3 = 0

D = b² – 4ac = (–4)² – 4•4•3 = 64

Квадратный корень из D = 8

х₁ = (–b – D) / 2 a = (4 – 8) / 8 = –1/2

х₂ = (–b + D) / 2 a = (4 + 8) / 8 = 1,5

Скорость течения первой реки 1,5 + 1 = 2,5

Ответ 2,5 км/час, 1,5 км/час.

 

953

а) Из пунктов А и В, расположенных на расстоянии 100 км навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Через 4 ч они встретились. После встречи скорость первого велосипедиста , двигавшегося из А в В, возросла на 5 км/ч, а скорость второго возросла на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость второго велосипедиста, если первый прибыл в пункт В на 1 ч раньше, чем второй в пункт А.

Решение

х – скорость велосипедиста из А

у – скорость велосипедиста из В

4х – расстояние пройденное велосипедистом из А до встречи

4у – расстояние пройденное велосипедистом из В до встречи

(х + 5) – изменение скорости велосипедистом из А после встречи

(у + 10) – изменение скорости велосипедистом из В после встречи

4х/(у + 10) – время движения велосипедиста из В после встречи

4у/(х + 5) – время движения велосипедиста из А после встречи

4х + 4у = 100               (1)

4х/(у + 10) – 4у/(х + 5) = 1             (2)

Из первого уравнения у = (25 – х) подставляем во второе

4х/(25 – х + 10) – 4(25 – х)/(х + 5) = 1

4х(х + 5) – 4(35 – х )(25 – х) = (х + 5) (35 – х)

х² + 230х – 3675 = 0

D = b² – 4ac = (230)² + 4•1•3675 = 67600

Квадратный корень из D = 260

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–230 – 260) / 2 = –245

х₂ = (–b + D) / 2 a = (–230 + 260) / 2 = 15

у = (25 – х) = 25 – 15 = 10

Ответ 10 км/час.

б) Из пунктов А и В, расположенных на расстоянии 50 км, навстречу друг другу вышли одновременно два пешехода. Через 5 ч они встретились. После встречи скорость первого пешехода, идущего из А в В, уменьшилась на 1 км/ч, а скорость второго возросла на 1 км/ч. Найдите первоначальную скорость первого пешехода, если он прибыл в пункт В на 2 ч раньше, чем второй в пункт А.

Решение

х – скорость пешехода из А

у – скорость пешехода из В

5х – расстояние пройденное пешеходом из А до встречи

5у – расстояние пройденное пешеходом из В до встречи

(х – 1) – изменение скорости пешеходом из А после встречи

(у + 1) – изменение скорости пешеходом из В после встречи

5х/(у + 1) – время движения пешехода из В после встречи

4у/(х – 1) – время движения пешехода из А после встречи

5х + 5у = 50                 (1)

5х/(у + 1) – 5у/(х – 1) = 2               (2)

Из первого уравнения у = (10 – х) подставляем во второе

5х/(10 – х + 1) – 5(10 – х)/(х + 1) = 2

4х(х + 5) – 4(35 – х )(25 – х) = (х + 5) (35 – х)

х² + 230х – 3675 = 0

D = b² – 4ac = (230)² + 4•1•3675 = 67600

Квадратный корень из D = 260

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–230 – 260) / 2 = –245

х₂ = (–b + D) / 2 a = (–230 + 260) / 2 = 15

у = (25 – х) = 25 – 15 = 10

Ответ 10 км/час.

 

954

а) Из пункта А в пункт В, .расположенный в 24 км от А, одновременно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 ч раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на

4 км/ч скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода.

Решение

х – скорость пешехода

у – скорость велосипедиста

24/х – время движения пешехода

24/у – время движения велосипедиста

(у – 4) – изменение скорости велосипедиста

24/(у – 4) – время движения велосипедиста после изменения скорости

Велосипедист прибыл в пункт В на 4 ч раньше пешехода.

24/х – 24/у = 4             (1)

Если бы велосипедист ехал с меньшей на 4 км/ч скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход.

24/х – 24/(у – 4) = 12/х

12/х – 24/(у – 4) = 0              (2)

Из первого уравнения вычитаем умноженное на 2 второе,

– 24/у + 48/(у – 4) = 4

у² – 10у – 24 = 0

D = b² – 4ac = (–10)² + 4•1•24 = 196

Квадратный корень из D = 14

у₁ = (–b – D) / 2 a = (10 – 14) / 2 = –2

у₂ = (–b + D) / 2 a = (10 + 14) / 2 = 12

24/х – 24/у = 4

24/х = 4 – 24/у

х = 4

Ответ 4 км/час.

б) Два пешехода одновременно выходят навстречу друг другу из пунктов А и В и встречаются через 3 ч. Если бы они оба вышли из пункта А и пошли в пункт В, причем второй вышел бы на 3 ч позже первого, то второй пешеход догнал бы первого, пройдя 2/3 расстояния от А до В. Сколько времени потребуется первому пешеходу на путь из пункта А в пункт В?

Решение

Расстояние между пунктами примем за 1

х – скорость первого пешехода

у – скорость второго пешехода

3х – расстояние, пройденное первым пешеходом

3у – расстояние, пройденное вторым пешеходом

1/х – время движения первого пешехода до встречи

1/у – время движения второго пешехода до встречи

3х + 3у = 1          (1)

Если бы они оба вышли из пункта А и пошли в пункт В, причем второй вышел бы на 3 ч позже первого, то второй пешеход догнал бы первого, пройдя 2/3 расстояния от А до В

(2/3)/х – (2/3)/у = 3                (2)

Из первого уравнения х = (1 – 3у)/3 подставляем во второе

27у² + 3у – 2 = 0

D = b² – 4ac = (3)² + 4•27•2 = 225

Квадратный корень из D = 15

у₁ = (–b – D) / 2 a = (–3 – 15) / 54 = –1/3

у₂ = (–b + D) / 2 a = (–3 + 15) / 54 = 2/9

х = (1 – 3у)/3 = 1/9

1/х = 9

Ответ 9 час.

 

955

а) Два электропоезда выходят одновременно навстречу друг другу из городов А и В (АВ=112 км) и встречаются через 56 мин. Продолжая движение, первый приходит в В на 15 мин раньше, чем второй в А. Найдите скорость каждого поезда.

Решение

х – скорость первого электропоезда

у – скорость второго электропоезда

(14/15)х – расстояние, пройденное первым электропоездом

(14/15)у – расстояние, пройденное вторым электропоездом

(14/15)у/х – время движения первого электропоезда после встречи

(14/15)х/у – время движения второго электропоезда после встречи

(14/15)х + (14/15)у = 112               (1)

(14/15)х/у – (14/15)у/х = 0,25                  (1)

Из первого уравнения х = (120 – у) подставляем во второе

у² – 1016у + 53760 = 0

D = b² – 4ac = (–1016)² – 4•1•53760 = 817216

Квадратный корень из D = 904

у₁ = (–b – D) / 2 a = (1016 – 904) / 2 = 56

у₂ = (–b + D) / 2 a = (1016 + 904) / 2 = 960

Принимаем скорость второго электропоезда 56 км/час.

х = (120 – у) = 64

Ответ 64 км/час, 56 км/час.

б) Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А, первый со скоростью 24 км/ч, а второй – 18 км/ч. Спустя час вслед за ними выехал автомобиль, который обогнал второго велосипедиста на 10 мин раньше, чем первого. Найдите скорость автомобиля.

Решение

х – скорость автомобиля

t – время движения автомобиля до момента обгона велосипедистов

хt – расстояние, пройденное автомобилем до момента обгона велосипедистов

24(t + 1) – расстояние, пройденное первым велосипедистом до момента обгона автомобилем

18(t + 1) – расстояние, пройденное вторым велосипедистом до момента обгона автомобилем

24(t + 1) = хt                (1)

18(t + 1) = х(t – 1/6)     (2)

Первое уравнение умножим на 3, а второе умножим на 4. После этого из второго уравнения вычтем первое

х(t – 2/3) = 0

t = 2/3

Полученное значение подставим в первое уравнение, откуда найдем х:

х = 60

Ответ 60 км/час.

 

956

а) Два бегуна стартовали один за другим с интервалом 2 мин. Второй бегун догнал первого на расстоянии 1 км от точки старта, а пробежав от точки старта 5 км, он повернул обратно и встретился с первым бегуном. Эта встреча произошла через 20 мин после старта первого бегуна. Найдите скорость второго бегуна.

Решение

х – скорость первого бегуна

у – скорость второго бегуна

20х – расстояние, пройденное первым бегуном за 20 мин

18у – расстояние, пройденное вторым бегуном за 18 мин

1/х – время движения первого бегуна на отрезке 1 км

1/у – время движения второго бегуна на отрезке 1 км

Два бегуна стартовали один за другим с интервалом 2 мин. Второй бегун догнал первого на расстоянии 1 км от точки старта, то есть

1/у = 1/х – 2                 (1)

Второй бегун, пробежав от точки старта 5 км, повернул обратно и встретился с первым бегуном. Эта встреча произошла через 20 мин после старта первого бегуна.

20х + 18у = 10             (2)

Из второго уравнения х = (5 – 9у)/10 подставляем в первое

18у² + 9у – 5 = 0

D = b² – 4ac = (9)² + 4•18•5 = 441

Квадратный корень из D = 21

у₁ = (–b – D) / 2 a = (–9 – 21) / 36 = –5/6

у₂ = (–b + D) / 2 a = (–9 + 21) / 36 = 1/3

Ответ 1/3 км/мин = 20 км/час.

б) Два лыжника стартовали на дистанции 10 км друг за . другом с интервалом в 6 мин. Второй лыжник догнал первого в 2 км от точки старта. Дойдя до поворота на отметке 5 км, второй лыжник повернул обратно и встретил первого на расстоянии 1 км от точки поворота. Найдите скорость первого лыжника.

Решение

х – скорость первого лыжника

у – скорость второго лыжника

2/х – время движения первого лыжника на отрезке 2 км после встречи

4/у – время движения первого лыжника на отрезке 4 км после встречи

2/х – время движения первого лыжника на отрезке 2 км

2/у – время движения второго лыжника на отрезке 2 км

Два лыжника стартовали на дистанции 10 км друг за . другом с интервалом в 6 мин. Второй лыжник догнал первого в 2 км от точки старта.

2/у = 2/х – 6                 (1)

Второй лыжник, дойдя до поворота на отметке 5 км, повернул обратно и встретил первого на расстоянии 1 км от точки поворота.

4/у = 2/х              (2)

Из второго уравнения у = 2х подставляем в первое. Откуда

х = 1/6

Ответ 1/6 км/мин = 10 км/час.