947

а) Для разгрузки парохода выделены две бригады. Если к количеству часов, за которое может самостоятельно разгрузить пароход первая бригада, прибавить количество часов, за которое может самостоятельно разгрузить пароход вторая бригада, по получится 18 ч. 3а сколько часов каждая бригада, работая самостоятельно, может разгрузить пароход, если разность этих часов в 1,5 раза больше времени, за которое обе бригады могут разгрузить пароход, работая вместе?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первой бригады

у – время на всю работу второй бригады

t – время при совместной работе

1/х – производительность первой бригады

1/у – производительность второй бригады

Если к количеству часов, за которое может самостоятельно разгрузить пароход первая бригада, прибавить количество часов, за которое может самостоятельно разгрузить пароход вторая бригада, то получится 12 ч

х + у = 18                     (1)

Обе бригады могут разгрузить пароход, работая вместе за t часов, то есть

(1/х + 1/у)t = 1              (2)

3а сколько часов каждая бригада, работая самостоятельно, может загрузить пароход, если разность этих часов составляет 45% от времени, за которое обе бригады могут разгрузить пароход, работая вместе?

(х – у)/ t =  1,5              (3)

Из первого уравнения

х = (18 – у)

Подставляем во второе и третье уравнения

(1/(18 – у) + 1/у)t = 1             (4)

(18 – 2у) = 1,5 t

Из последнего уравнения находим t = (18 – 2у)/1,5 и подставляем в четвертое

(1/(18 – у) + 1/у)(18 – 2у)/1,5 = 1

у² – 42у + 216 = 0

D = b² – 4ac = (–42)² – 4•1•216 = 900

Квадратный корень из D = 30

у₁ = (–b – D) / 2 a = (42 – 30) / 2 = 6

у₂ = (–b + D) / 2 a = (42 + 30) / 2 = 36

х = 18 – 6 = 12

Ответ 12 час, 6 час

б) Для прокладки траншеи выделено два экскаватора разных типов. Время, необходимое первому экскаватору для самостоятельной прокладки траншеи на 3 ч меньше времени, необходимого второму экскаватору для самостоятельной прокладки траншеи. Сумма этих времен в 144/35 раза больше времени, необходимого для прокладки траншеи при совместной работе двух экскаваторов. Сколько времени необходимо каждому экскаватору для самостоятельной прокладки траншей?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первого экскаватора

у – время на всю работу второго экскаватора

t – время при совместной работе

1/х – производительность первого экскаватора

1/у – производительность второго экскаватора

Время, необходимое первому экскаватору для самостоятельной прокладки траншеи на 3 ч меньше времени, необходимого второму экскаватору для самостоятельной прокладки траншеи.

у – х = 3                       (1)

Сумма этих времен в 144/35 раза больше времени, необходимого для прокладки траншеи при совместной работе двух экскаваторов, то есть

(х + у)/t = 144/35                   (2)

Для самостоятельной прокладки траншей

(1/х + 1/у)t = 1              (3)

Из первого уравнения

у = (3 + х)

Подставляем во второе и третье уравнения

(2х + 3)/t = 144/35        –––> t = 35(2х + 3)/144

(1/х + 1/(3 + х))t = 1     –––>

(2х + 3)/(х(3 + х))•35(2х + 3)/144 = 1

4х² + 12х – 315 = 0

D = b² – 4ac = (12)² + 4•4•315 = 5184

Квадратный корень из D = 72

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–12 – 72) / 8 = –10

х₂ = (–b + D) / 2 a = (–12 + 72) / 8 = 7,5

у = 3 + 7,5 = 10,5

Ответ 7,5 час, 10,5 час

 

948

а) Двое рабочих, работая вместе, окончили работу за два дня. За сколько дней окончит эту работу каждый из них, работая отдельно, если известно, что если бы первый проработал 2 дня, а второй 1 день, то вместе они бы сделали 5/6 всей работы?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первого рабочего

у – время на всю работу второго рабочего

1/х – производительность первого рабочего

1/у – производительность второго рабочего

Двое рабочих, работая вместе, окончили работу за два дня, то есть

(1/х + 1/у)2 = 1             (1)

Известно, что если бы первый проработал 2 дня, а второй 1 день, то вместе они бы сделали 5/6 всей работы, то есть

(2/х + 1/у) = 5/6            (2)

Из второго уравнения 1/у = 5/6 – 2/х подставляем в первое

(2/х + 5/6 – 2/х)2 = 1

4х = 12

х = 3

1/у = 5/6 – 2/х = 5/6 – 2/3 = 1/6

у = 6

Ответ 3 дня, 6 дней

б) Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 ч. За какое время могла бы обработать этот участок каждая бригада в отдельности, если скорости выполнения работ бригадами относятся как 3:2?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первой бригады

у – время на всю работу второй бригады

1/х – производительность первой бригады

1/у – производительность второй бригады

Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 ч.

(1/х + 1/у)12 = 1           (1)

Скорости выполнения работ бригадами относятся как 3:2

х/у = 3/2              (2)

Из второго уравнения х = 1,5у подставляем в первре уравнение

(1/1,5у + 1/у)12 = 1

1,5у = 30

у = 20

х = 1,5у = 1,5•20 = 30

Ответ 20 час, 30 час

 

949

а) Рабочий может выполнить некоторое задание на 2 ч быстрее, чем ученик. Через 2 ч 20 мин после того как к выполнению задания приступил рабочий, ему стал помогать ученик, и они выполнили оставшуюся часть задания за 1 ч. Сколько времени выполняет задание рабочий, работая один?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу рабочим

у – время на всю работу учеником

1/х – производительность рабочим

1/у – производительность учеником

Рабочий может выполнить некоторое задание на 2 ч быстрее, чем ученик

у – х = 2              (1)

Через 2 ч 20 мин после того как к выполнению задания приступил рабочий, ему стал помогать ученик, и они выполнили оставшуюся часть задания за 1 ч.

(10/3)/х + 1/у = 1                   (2)

Из первого уравнения у = (2 + х) подставляем во второе уравнение

(10/3)/х + 1/(2 + х) = 1

3х² – 7х – 20 = 0

D = b² – 4ac = (–7)² + 4•3•20 = 289

Квадратный корень из D = 17

х₁ = (–b – D) / 2 a = (7 – 17) / 6 = –10/6

х2 = (–b + D) / 2 a = (7 + 17) / 6 = 4

у = 2 + 4 = 6

Ответ 4 час, 6 час

б) Усовершенствованный станок–автомат изготавливает в час на 40 деталей больше, чем станок старой модели, и поэтому для изготовления 2400 деталей на новом станке нужно на 10 ч меньше, чем на старом. Найдите производительность усовершенствованного станка.

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – производительность станка старой модели

(х + 40) – производительность усовершенствованного станка

2400/х – время работы старого станка

2400/(х + 40) – время работы усовершенствованного станка

2400/х – 2400/(х + 40) = 10

х² + 40х – 9600 = 0

D = b² – 4ac = (40)² + 4•1•9600 = 40000

Квадратный корень из D = 200

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–40 – 200) / 6 = –120

х₂ = (–b + D) / 2 a = (–40 + 200) / 6 = 80

(х + 40) = (80 + 40) = 120

Ответ 120 дет/час

 

950

а) Из пунктов А и С в пункт В выехали одновременно два всадника и прибыли в пункт В одновременно, несмотря на то, что С отстоит от В на 20 км дальше, чем А от В. Найдите расстояние от С до В, если всадник, выехавший из С проезжал каждый километр на 1 мин 15 с. быстрее, чем всадник, выехавший из А. Всадник, выехавший из А, был в пути 5 ч.

Решение

р – расстояние между пунктами А и В

(р + 20) – расстояние между пунктами С и В

х – скорость всадника из А

у – скорость всадника из С

Всадник, выехавший из С проезжал каждый километр на 1 мин 15 с. быстрее, чем всадник, выехавший из А.

1/х – время всадника из А на километровом отрезке

1/у – время всадника из С на километровом отрезке

Запишем

1/х – 1/у = 1/48            (1)

р/х = 5                          (2)

(р + 20)/у = 5                (3)

Из второго уравнения р = 5х подставляем в третье

(5х + 20)/у = 5 откуда подставляем в первое уравнение

1/х – 1/( х + 4) = 1/48

х² + 4х – 192 = 0

D = b² – 4ac = (4)² + 4•1•192 = 784

Квадратный корень из D = 28

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–4 – 28) / 2 = –16

х₂ = (–b + D) / 2 a = (–4 + 28) / 2 = 12

(х + 40) = (80 + 40) = 120

у = х + 4 = 12 + 4 = 16

Расстояние от С до В

16•5 = 80

Ответ 80 км.

б) Расстояние между пунктами А и В равно– 103 км. Из А в В вышел поезд и, пройдя некоторое расстояние, был задержан, а потому оставшийся путь до В проходил со скоростью на 4 км больше прежней. Найдите первоначальную скорость поезда, если известно, что оставшийся путь до В был на 23 км длиннее пути, пройденного до задержки, и на прохождение пути после задержки было затрачено на 15 мин больше, чем на путь до задержки.

Решение

х – начальная скорость поезда

(х + 4) – конечная скорость поезда

Оставшийся путь до В был на 23 км длиннее пути, пройденного до задержки. Тогда расстояние от А до задержки

(103 – 23)/2 = 40

Расстояние от пункта задержки до В

103 – 40 = 63

63/(х + 4) – время движения поезда после задержки

40/х – время движения поезда до задержки

Прохождение пути после задержки было затрачено на 15 мин больше, чем на путь до задержки.

63/(х + 4) – 40/х = 0,25

х² – 88х + 640 = 0

D = b² – 4ac = (–88)² – 4•1•640 = 5184

Квадратный корень из D = 72

х₁ = (–b – D) / 2 a = (88 – 72) / 2 = 3

х₂ = (–b + D) / 2 a = (88 + 72) / 2 = 80

Ответ 80 км/час.

 

951

а) Два тела, движущиеся по окружности длиной 1 м в разные стороны с постоянными скоростями, встречаются каждые 6 с. При движении в одну сторону первое тело догоняет второе каждые 48 с. Найдите линейные скорости этих тел.

Решение

1 – окружность длиной 1 м

х – скорость первого тела

у – скорость второго тела

Два тела, движущиеся по окружности длиной 1 м в разные стороны с постоянными скоростями, встречаются каждые 6 с. Составим уравнение

1/(х + у) = 6                           (1)

При движении в одну сторону первое тело догоняет второе каждые 48 с.

1/(х – у) = 48                (2)

Из второго уравнения х = 1/48 + у подставляем в первое

1/(1/48 + у + у) = 6

2у = 1/6 – 1/48

у = 7/96

х = 1/48 + у = 1/48 + 7/96 = 9/96

Ответ 9/96 м/с, 7/96 м/с.

б) Два спортсмена бегут по одной замкнутой дорожке на стадионе. Скорость каждого постоянна, но первый пробегает всю дорожку на 10 с быстрее, чем второй. Если они начнут бег с общего старта в одном направлении, то еше раз встретятся через 720 с. Какую часть длины всей дорожки пробегает в секунду каждый?

Решение

1 – длина замкнутой дорожки

х – скорость первого спортсмена

у – скорость второго спортсмена

720х – расстояние, что пробегает первый спортсмен за 720 с

720у – расстояние, что пробегает второй спортсмен за 720 с

Скорость каждого постоянна, но первый пробегает всю дорожку на 10 с быстрее, чем второй. Составим уравнение

1/у – 1/х = 10                         (1)

Если они начнут бег с общего старта в одном направлении, то еше раз встретятся через 720 с. При этом первый спортсмен пробежит на круг больше.

720х – 720у = 1           (2)

Из второго уравнения х = 1/720 + у подставляем в первое

1/у – 1/(1/720 + у) = 10

7200у² + 10у – 1 = 0

D = b² – 4ac = (10)² + 4•7200•1 = 28900

Квадратный корень из D = 170

у₁ = (–b – D) / 2 a = (–10 – 170) / 14400 = –1/80

у₂ = (–b + D) / 2 a = (–10 + 170) / 14400 = 1/90

х = 1/720 + у = 1/720 + 1/90 = 1/80

Ответ 1/80, 1/90.