942

а) Каждая из двух машинисток перепечатывала рукопись в 72 страницы. Первая машинистка перепечатывала 6 страниц за то же время, за которое вторая перепечатывала 5 страниц. Сколько страниц перепечатывала каждая машинистка в час, если первая закончила работу на 1,5 часа быстрее второй?

Решение

х – количество перепечатываемых страниц первой машинисткой за час

у – количество перепечатываемых страниц второй машинисткой за час

72/х – время перепечатывания рукописи первой машинисткой

72/у – время перепечатывания рукописи второй машинисткой

Первая машинистка перепечатывала 6 страниц за то же время, за которое вторая перепечатывала 5 страниц

6/х = 5/у              (1)

72/у – 72/х = 1,5 (2)

Из первого уравнения х = 1,2у подставляем во второе

72/у – 72/1,2у = 1,5

1,8у = 14,4

у = 8

х = 1,2у = 1,2•8 = 9,6

Ответ: 9,6 л, 8 л.

б) Два одинаковых бассейна одновременно начали наполняться водой. В первый бассейн поступает в час на 30 м³ больше воды, чем во второй. В некоторый момент в двух бассейнах вместе оказалось столько воды, сколько составляет объем каждого из них. После этого через 2 ч 40 мин наполнился первый бассейн, а еще через 3 ч 20 мин — второй. Сколько воды поступало в час в каждый бассейн?

Решение

х – объем поступающей воды в первый басен за час

(х – 30) – объем поступающей воды во второй басен за час

V – объем бассейна

В некоторый момент в двух бассейнах вместе оказалось столько воды, сколько составляет объем каждого из них, то есть

хt + (х – 30)t = V                   (1)

После этого через 2 ч 40 мин наполнился первый бассейн, а еще через 3 ч 20 мин — второй. Составим уравнения

(t + 8/3)х = V                (2)

(t + 8/3)(х – 30) = V     (3)

Перепишем второе и третье уравнения с учетом значения V из второго

хt + (х – 30)t = (t + 8/3)х                (1)

(t + 8/3)(х – 30) = (t + 8/3)х   (3)

Из третьего уравнения t = х/45 подставляем в первое и решаем его

хt + х t – 30t = х t + (8/3)х

t = (8/3)х/ (х – 30)

х/45 = (8/3)х/ (х – 30)

х² – 300х = 0

х (х – 300) = 0

х = 0

х = 300

х – 30 = 300 – 30 = 270

Ответ: 300 м³/час, 270 м³/час.

 

943

а) За 3,5 часа работы один штамповочный пресс может изготовить 42% всех заказанных деталей. Второй пресс за 9 ч работы может изготовить 60% ,всех деталей, а скорость выполнения работы на третьем прессе относится к скорости выполнения на втором, как 6:5. За какое время будет выполнен весь заказ, если все три пресса будут работать одновременно?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первого штамповочного пресса, час

у – время на всю работу второго штамповочного пресса, час

z – время на всю работу третьего штамповочного пресса, час

За 3,5 часа работы один штамповочный пресс может изготовить 42% всех заказанных деталей. Второй пресс за 9 ч работы может изготовить 60% ,всех деталей, а скорость выполнения работы на третьем прессе относится к скорости выполнения на втором, как 6:5. Значит

1/х = 0,42/3,5 – производительность первого штамповочного пресса

1/у = 0,6/9 – производительность второго штамповочного пресса

1/z = 0,72/9 – производительность третьего штамповочного пресса

Так как при совместной работе они закончат выполнение задвнич за t ч, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у + 1/z)•t = 1

(0,42/3,5 + 0,6/9 + 0,72/9)•t = 1

t = 1/(0,42/3,5 + 0,6/9 + 0,72/9)

t = 63/16,8

t = 3,75

Ответ 3 часа 45 мин.

б) Жидкость поступает в сосуд через 3 крана. Если открыть все краны одновременно, то сосуд наполнится за 6 мин. Если открыть только второй кран, то сосуд наполнится за 0,75 того времени, за которое он может наполниться только через один первый кран. Через один третий кран этот сосуд наполняется на 10 мин дольше, чем через один второй кран. На какое время надо открывать каждый кран в отдельности для наполнения сосуда?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первого крана

0,75х – время на всю работу второго крана

(0,75х +10) – время на всю работу третьего крана

Так как при совместной работе они закончат выполнение задвнич за 6 мин, то на основании этого имеем

(1/х + 1/0,75х + 1(0,75х +10) /)•6 = 1

3х² – 26х – 560= 0

D = b² – 4ac = (–26)² + 4•3•560 = 7396

Квадратный корень из D = 86

х₁ = (–b – D) / 2 a = (26 – 86) / 6 = –10

x2 = (–b + D) / 2 a = (26 + 86) / 6 = 56/3

0,75х = 0,75•56/3 = 14

(0,75х +10) = 14 + 10 = 24

Ответ 56/3 мин, 14 мин, 24 мин.

 

944

а) Бассейн может наполняться водой с помощью двух насосов разной производительности. Если половину бассейна наполнить, включив лишь первый насос, а затем, выключив его, продолжить наполнение с помощью второго насоса, то весь бассейн наполнится за 2 ч 30 мин. При одновременной работе двух насосов бассейн наполняется за 1 ч 12 мин. Какую часть бассейна наполняет за 20 минут работы насос меньшей производительности?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первым насооом, часов

у – время на всю работу вторым насосом, часов

1/х – производительность первого насоса

1/у – производительность второго насоса

При одновременной работе двух насосов бассейн наполняется за 1 ч 12 мин, то можем записать

(1/х + 1/у)•1,2 = 1                  (1)

Если половину бассейна наполнить, включив лишь первый насос, а затем, выключив его, продолжить наполнение с помощью второго насоса, то весь бассейн наполнится за 2 ч 30 мин

0,5х + 0,5у = 2,5          (2)

Составим систему уравнений и решим ее. Второе уравнение умножим на 2. Откуда у = 5 – х подставим в первое

6/х + 6/(5 – х) = 5

х² – 5х + 6 = 0

D = b² – 4ac = (–5)² – 4•1•6 = 1

Квадратный корень из D = 1

х₁ = (–b – D) / 2 a = (5 – 1) / 2 = 2

x₂ = (–b + D) / 2 a = (5 + 1) / 2 = 3

у₁ = 5 – 2 = 3

у₂ = 5 – 3 = 2

Принимаем второй насос меньшей производительности, тогда за 20 мин он заполнит 20/180 = 1/9 часть бассейна

Ответ 1/9.

б) В бассейн проведены две трубы, подающая и отводящая, причем через первую бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на 1/3 бассейна были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым через 8 ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1/3.

х – время на всю работу первой трубой, часов

у – время на всю работу второй трубой, часов

1/х – производительность первой трубы

1/у – производительность второй трубы

При заполненном на 1/3 бассейна были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым через 8 ч., можем записать

(1/у – 1/х)•8 = 1/3                  (1)

Через первую бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется

х – у = 2              (2)

Составим систему уравнений и решим ее. Из второго уравнения х = 2 + у подставим в первое

8/у – 8/(2 + у) = 1/3

у² + 2у – 48 = 0

D = b² – 4ac = (2)² + 4•1•48 = 196

Квадратный корень из D = 14

у₁ = (–b – D) / 2 a = (–2 – 14) / 2 = –8

у₂ = (–b + D) / 2 a = (–2 + 14) / 2 = 6

х = 2 + у = 2 + 6 = 8

Для заполнения и опорожнения бассейна потребуется перврй трубе 24 часа, а второй трубе – 18 часов.

Ответ 24 часа, 18 часов.

 

945

а) Мастер и ученик, работая вместе, заканчивают задание на 2 ч раньше, чем мастер, работая один, но на 1 ч позже, чем мастер и два ученика. За какое время выполняют задание два мастера и ученик?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу учеником, часов

у – время на всю работу мастером, часов

1/х – производительность ученика

1/у – производительность мастера

Мастер и ученик, работая вместе, заканчивают задание на 2 ч раньше, чем мастер, работая один

1/(1/у) – 1/(1/х + 1/у) = 2                (1)

Мастер и ученик, работая вместе, заканчивают задание на 1 ч позже, чем мастер и два ученика

(1/(1/х + 1/у) – 1/(2/х + 1/у)) = 1     (2)

Из первого уравнения

у – ху /(х + у) = 2                  (3)

у² = 2(х + у)                  (4)

Из третьего уравнения

у – 2 = ху/(х + у)

Из второго уравнения

у – 2 – ху/(х + 2у) = 1

у – ху/(х + 2у) = 3

2у² = 3(х + 2у)

у² = 3(х + 2у)/2             (5)

Решая четвертое и пятое уравнения, имеем

х = 2у

Полученное значение внесем в четвертое уравнение

у² = 2(х + у) = 2(2у + у)

у² – 6у = 0

у(у – 6) = 0

у = 6

х = 2у = 2•6 = 12

За какое время выполняют задание два мастера и ученик?

1/(2/у + 1/х) = ху/(2х + у) = 12•6/(2•12 + 6) = 2,4

Ответ: 2,4 часа

б) Два насоса типа А и В., работая вместе, выкачивают воду из бассейна на 1 час быстрее, чем насос А, работая один, но на 36 мин медленнее, чем насос А и два насоса В одновременно. За какое время выполняют данную работу два насоса А и один В, работая одновременно.

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу насосом В, часов

у – время на всю работу насосом А, часов

1/х – производительность насоса В

1/у – производительность насоса А

Два насоса типа А и В., работая вместе, выкачивают воду из бассейна на час быстрее, чем насос А, работая один

1/(1/у) – 1/(1/х + 1/у) = 1                (1)

Два насоса типа А и В., работая вместе, выкачивают воду из бассейна на 36 мин медленнее, чем насос А и два насоса В одновременно

(1/(1/х + 1/у) – 1/(2/х + 1/у)) = 1     (2)

Из первого уравнения

у – ху /(х + у) = 2                  (3)

у² = 2(х + у)                  (4)

Из третьего уравнения

у – 2 = ху/(х + у)

Из второго уравнения

у – 2 – ху/(х + 2у) = 1

у – ху/(х + 2у) = 3

2у² = 3(х + 2у)

у² = 3(х + 2у)/2             (5)

Решая четвертое и пятое уравнения, имеем

х = 2у

Полученное значение внесем в четвертое уравнение

у² = 2(х + у) = 2(2у + у)

у² – 6у = 0

у(у – 6) = 0

у = 6

х = 2у = 2•6 = 12

За какое время выполняют задание два мастера и ученик?

1/(2/у + 1/х) = ху/(2х + у) = 12•6/(2•12 + 6) = 2,4

Ответ: 2,4 часа

 

946

а) Два сварщика, работая вместе, могут выполнить заказ за 7 дней, причем второй начинает работу на 1,5 дня позже, чем первый. За сколько дней каждый из них может выполнить этот заказ, работая отдельно, если второму потребуется на 3 дня меньше, чем первому?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первого сварщика

у – время на всю работу второго сварщика

1/х – производительность первого сварщика

1/у – производительность второго сварщика

Два сварщика, работая вместе, могут выполнить заказ за 7 дней, причем второй начинает работу на 1,5 дня позже, чем первый, можем записать

(7/х + 5,5/у) = 1            (1)

За сколько дней каждый из них может выполнить этот заказ, работая отдельно, если второму потребуется на 3 дня меньше, чем первому?

х – у = 3                       (2)

Из второго уравнения

х = 3 + у

Подставляем в первое уравнение

(7/(3 + у) + 5,5/х) = 1

2у² – 19у – 33 = 0

D = b² – 4ac = (–19)² + 4•2•33 = 625

Квадратный корень из D = 25

у₁ = (–b – D) / 2 a = (19 – 25) / 4 = –3/2

у₂ = (–b + D) / 2 a = (19 + 25) / 4 = 11

х = 3 + у = 3 + 11 = 14

Ответ 11 дней, 14 дней.

б) Двое рабочих, выполняя определенное задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать одни из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит другой, то все задание будет сделано за 25 дней. За сколько дней каждый из них выполнит это задание?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первого рабочего

у – время на всю работу второго рабочего

1/х – производительность первого рабочего

1/у – производительность второго рабочего

Двое рабочих, выполняя определенное задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней.

(1/х + 1/у)12 = 1           (1)

Если сначала будет работать одни из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит другой, то все задание будет сделано за 25 дней

0,5х + 0,5у = 25                     (2)

Из второго уравнения

х = 50 – у

Подставляем в первое уравнение

(1/(50 – у) + 1/у) = 1

у² – 50у + 600 = 0

D = b² – 4ac = (–50)² – 4•1•600 = 100

Квадратный корень из D = 10

у₁ = (–b – D) / 2 a = (50 – 10) / 2 = 20

у₂ = (–b + D) / 2 a = (50 + 10) / 2 = 30

х = 50 – 20 = 30

Ответ 20 дней, 30 дней