929

а) Моторная лодка прошла 5 км по течению и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 1 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки по течению.

Решение

х – скорость движения лодки, км/час

(х + 3) – скорость движения лодки по течению

(х – 3) – скорость двежения лодки против течения

5/(х + 3) – время движения лодки по течению

6/(х – 3) – время двежения лодки катера против течения

5/(х + 3) + 6/(х – 3) = 1

х² – 11х – 12= 0

D = b² – 4ac = (–11)² + 4•1•12 = 169

Квадратный корень из D = 13

х₁ = (–b – D) / 2 a = (11 – 13) / 2 = –1

x₂ = (–b + D) / 2 a = (11 + 13) / 2 = 12

(х + 3) = 12 + 3 = 15

Ответ: 15 км/час

б) Моторная лодка прошла 7 км по течению и 10 км против течения реки, затратив на путь по течению на 0,5 ч меньше, чем на путь против течения. Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Найдите скорость лодки против течения.

Решение

х – скорость движения реки, км/час

(12 + х) – скорость движения лодки по течению

(12 – х) – скорость двежения лодки против течения

7/(12 + х) – время движения лодки по течению

10/(12 – х) – время двежения лодки против течения

10/(12 – х) – 7/(12 + х) = 0,5

х² + 34х – 72= 0

D = b² – 4ac = (34)² + 4•1•72 = 1444

Квадратный корень из D = 38

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–34 – 38) / 2 = –36

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–34 + 38) / 2 = 2

(20 + х) = 20 + 4 = 24

12 – х = 12 – 2 = 10

Ответ: 10 км/час

 

930

а) Моторная лодка прошла 5 км по течению и 8 км по озеру, затратив на весь путь 1 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки по течению.

Решение

х – скорость движения лодки по озеру, км/час

(х + 3) – скорость движения лодки по течению

8/х – время движения лодки по озеру

5/(х + 3) – время двежения лодки по течению реки

8/х + 5/(х + 3) = 1

х² – 10х – 24= 0

D = b² – 4ac = (–10)² + 4•1•24 = 196

Квадратный корень из D = 14

х₁ = (–b – D) / 2 a = (10 – 14) / 2 = –3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (10 + 14) / 2 = 12

х + 3 = 12 + 3 = 15

Ответ: 15 км/час

б) Моторная лодка прошла 20 км против течения реки и 14 км по озеру, затратив на путь по озеру на 1 ч меньше, чем на путь по реке. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Найдите скорость лодки против течения.

Решение

х – скорость движения лодки по озеру, км/час

(х – 4) – скорость движения лодки против течения

14/х – время движения по лодки озеру

20/(х – 4) – время двежения лодки по течению реки

20/(х – 4) – 14/х = 1

х² – 10х – 56= 0

D = b² – 4ac = (–10)² + 4•1•56 = 324

Квадратный корень из D = 18

х₁ = (–b – D) / 2 a = (10 – 18) / 2 = –4

x₂ = (–b + D) / 2 a = (10 + 18) / 2 = 14

х – 4 = 14 – 4 = 10

Ответ: 10 км/час

 

931

а) Две бригады лесорубов заготовили в январе 900 м³ древесины. В феврале первая бригада заготовила на 15%, а вторая – на 12% больше, чем в январе. Известно, что в феврале они заготовили 1020 м³древесины. Сколько кубических метров древесины заготовила каждая бригада в январе?

Решение

х – заготовки древесины первой бригадой в январе

у – заготовка древесины второй бригадой в январе

х + у – суммарная заготовка древесины бригадами в январе

1,15х – заготовки древесины первой бригадой в феврале

1,12у – заготовка древесины второй бригадой в феврале

1,15х + 1,12у – суммарная заготовка древесины бригадами в феврале

х + у = 900                             (1)

1,15х + 1,12у = 1020             (2)

Из первого уравнения х = 900 – у подставляем во второе

1,15(900 – у) + 1,12у = 1020

0,03у = 15

у = 500

х = 900 – у = 900 – 500 = 400

Ответ: 400 м³, 500 м³.

б) Колхоз ежегодно с двух участков собирал 500 т пшеницы. После проведения агротехнических мероприятий урожай на первом участке увеличился на 30%, а на втором – на 20%. Поэтому колхоз собрал с этих участков 630 т пшеницы. Сколько пшеницы собирал колхоз с каждого участка до проведения агротехнических мероприятий?

Решение

х – урожайность первого участка

у – урожайность второго участка

х + у – суммарная урожайность участков

1,3х – урожайность первого участка после агротехнических мероприятий

1,2у – урожайность второго участка после агротехнических мероприятий

1,3х + 1,2у – суммарная урожайность участков после агротехнических мероприятий

х + у = 500                   (1)

1,3х + 1,2у = 630                   (2)

Из первого уравнения х = 500 – у подставляем во второе

1,3(500 – у) + 1,2у = 630

0,1у = 20

у = 200

х = 500 – у = 500 – 200 = 300

Ответ: 300 т, 200 т.

 

932

а) За 3 футбольных мяча и 15 хоккейных клюшек детская спортшкола заплатила 480 руб. После снижения цен на мячи на 20%, а на клюшки на 10% за 2 футбольных мяча и 10 хоккейных клюшек заплатили 272 руб. Сколько стоил футбольный мяч и сколько стоила хоккейная клюшка первоначально?

Решение

х – цена футбольного мяча

у – цена хоккейной клюшки

3х + 15у – стоимость мячей и клюшек

0,8х – стоимость мяча после снижения цены

0,9у – стоимость клюшки после снижения цены

0,8х + 0,9у – стоимость мячей и клюшек после снижения цены

3х + 15у = 480                       (1)

0,8•2х + 0,9•10у = 272          (2)

Из первого уравнения х = 160 – 5у подставляем во второе

0,8•2(160 – 5у) + 0,9•10 у = 272

у = 6

х = 160 – 5у = 160 – 30 = 130

Ответ: 130 руб, 6 руб.

б) Две бригады изготовили за месяц 140 деталей. В следующем месяце производительность труда первой бригады возросла на 15%, а второй – на 20% и поэтому они изготовили на 24 детали больше, чем за предыдущий месяц. Сколько деталей изготовила каждая бригада в отдельности за 2 месяца?

Решение

х – производительность труда первой бригады

у – производительность труда второй бригады

х + у – совместное изготовление деталей

1,15х – увеличение производительности труда первой бригады

1,2у – увеличение производительности труда второй бригады

1,15х + 1,2у – совместное изготовление деталей после увеличения производительности

х + у = 140                   (1)

1,15х + 1,2у = 164                 (2)

Из первого уравнения х = 140 – у подставляем во второе

1,15(140 – у) + 1,2 у = 164

0,05у = 3

у = 60

х = 140 – у = 140 – 60 = 80

1,15х = 1,15 •80 = 92

1,2у = 1,2 • 60 = 72

80 + 92 = 172

60 + 72 = 132

Ответ: 172 дет, 132 дет.

 

933

а) Одна тракторная бригада вспахала 60 га, а другая на 35% больше, чем первая. Ежедневно первая бригада обрабатывала на 3 га меньше, чем вторая, но закончила работу на 1 дня раньше второй. Сколько гектаров обрабатывала каждая бригада за рабочий день?

Решение

х – производительность труда второй бригады

(х – 3) – производительность труда первой бригады

60/(х – 3) – время работы первой бригады

81/х – время работы второй бригады

60/(х – 3) – 81/х = 1

х² + 18х – 243= 0

D = b² – 4ac = (24)² + 4•1•243 = 1296

Квадратный корень из D = 36

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–18 – 36) / 2 = –27

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–18 + 36) / 2 = 9

х – 3 = 9 – 3 = 6

Ответ: 9 га, 6 га

б) Заводу было поручено изготовить 8000 деталей к определенному сроку. Работая точно по графику, завод выполнил 25% заказа, а затем стал изготовлять ежедневно по 100 деталей сверх дневного задания и выполнил заказ за 2 дня до срока. Сколько дней понадобилось заводу для выполнения заказа?

Решение

х – плановая производительность труда завода

(х + 100) – фактическая производительность труда завода

8000/х – плановое время работы выполнения задания заводом

8000•0,25/х – время работы при плановой производительности

8000•0,75/(х + 100) – время работы при фактической производительности

8000/х –8000•0,25/х – 8000•0,75/(х + 100) = 2

60/(х – 3) – 81/х = 1

х² + 100х – 300000 = 0

D = b² – 4ac = (100)² + 4•1•300000 = 1210000

Квадратный корень из D = 1100

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–100 – 1100) / 2 = –600

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–100 + 1100) / 2 = 500

8000/х – 2 = 8000/500 – 2 = 14

Ответ: 14 дней

 

934

а) Имеется 2 кг сплава олова и свинца, содержание олова в сплаве составляет 40%. Сколько свинца надо добавить к этому сплаву, чтобы содержание олова в нем составляло 30%?

Решение

х – добавляемая масса свинца

2•0,4 – содержание олова в сплаве, кг

2 + х – масса сплава с добавкой свинца

2•0,4/(2 + х) – отношение массы олова к массе сплава

2•0,4/(2 + х) = 0,3

2•0,4 = 0,3 (2 + х)

х = 2/3

Ответ: 2/3 кг.

б) Имеется 50 кг сплава меди и серебра, в котором содержится 40% меди. К сплаву добавили 30 г меди. Сколько процентов меди содержит получившийся сплав?

Решение

50•0,4 – содержание меди в сплаве, кг

(50•0,4 + 0,03) – масса меди после добавки

50 + 0,03 – масса сплава

2•0,4/(2 + х) – отношение массы олова к массе сплава

(50•0,4 + 0,03)/(50 + 0,03) – отношение массы меди к массе сплава

((50•0,4 + 0,03)/(50 + 0,03))100 = 40,034 %

Ответ: 40,034 % меди

 

935

а) Два завода по плану должны изготовить за месяц 360 верстаков. Первый завод выполнил план на 112%, а второй – на 110%, а поэтому оба завода выпустили за месяц на 40 верстаков больше. Сколько верстаков сверх плана выпустил каждый завод отдельно?

Решение

х – плановое задание первого завода

у – плановое задание второго завода

х + у – плановое задание двух заводов

1,12х – фактический выпуск верстаков первым заводом

1,1у – фактический выпуск верстаков вторым заводом

1,12х + 1,1у – фактический выпуск верстаков заводами

х + у = 360                   (1)

1,12х + 1,1у = 400                 (2)

Из первого уравнения х = 360 – у подставляем во второе

1,12(360 – у) + 1,1у = 400

0,02у = 3,2

у = 160

х = 360 – у = 360 – 160 = 200

1,12х – х = 1,12•200 – 200 = 24

1,1у – у = 1,1•160 – 160 = 16

Ответ: 24 и 16 (верстаков).

б) Две бригады рабочих в январе изготовили 900 деталей. В феврале первая бригада изготовила на 15%, а вторая – на 12% больше, чем в январе, а поэтому обе изготовили на 120 деталей больше. Сколько деталей сверх плана изготовила каждая бригада в феврале?

Решение

х – плановое задание первой бригады

у – плановое задание второй бригады

х + у – плановое задание двух бригад

1,15х – выпуск деталей первой бригадой за февраль

1,12у – выпуск деталей второй бригадой за февраль

1,15х + 1,12у – изготовлений деталей бригадами за февраль

х + у = 900                   (1)

1,15х + 1,12у = 1020             (2)

Из первого уравнения х = 900 – у подставляем во второе

1,15(900 – у) + 1,12у = 1020

0,03у = 15

у = 500

х = 900 – у = 900 – 500 = 400

1,15х – х = 1,15•400 – 400 = 60

1,12у – у = 1,12•500 – 500 = 60

Ответ: 60 и 60 (деталей).

 

936

а) Легковой автомобиль проехал за 2 ч на 10 км больше, чем грузовой за 3 ч. Если бы скорость легкового автомобиля была меньше на 25%, а грузового на 20%, то грузовой за 5 ч проехал бы на 20 км больше, чем легковой за 3 ч. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение

х – скорость легкового автомобиля

у – скорость грузового автомобиля

2х – пройденное расстояние легковым алтомобилем за два часа

3у – пройденное расстояние грузовым алтомобилем за три часа

0,75х – изменение скорости легкового автомобиля

0,80у – изменение скорости грузового автомобиля

3•0,75х – пройденное расстояние легковым алтомобилем за 3 часа

5•0,80у – пройденное расстояние грузовым алтомобилем за 5 часов

2х – 3у = 10                 (1)

5•0,80у – 3•0,75х = 20 (2)

Из первого уравнения х = 5 + 1,5у подставляем во второе

5•0,80у – 3•0,75(5 + 1,5у) = 20

0,625у = 31,25

у = 50

х = 5 + 1,5у = 5 + 1,5•50 = 80

Ответ: 80 км/ч, 50 км/час.

б) За 3 дня работы на первом станке было изготовлено на 30 деталей больше, чем за 2 дня работы на втором станке. В результате усовершенствования производительность первого станка возросла на 15%, а второго – на 20%. Теперь за 2 дня работы на первом станке и 3 дня работы на втором можно изготовить 100 деталей. Сколько деталей в день изготовляли раньше на каждом станке?

Решение

х – производительность первого станка

у – производительность второго станка

1,15х – выпуск деталей первым станком после усовершенствования

1,20у – выпуск деталей вторым станком после усовершенствования

3х – 2у = 30                           (1)

2•1,15х + 3•1,20у = 100                 (2)

Из первого уравнения у = 1,5 х– 15 подставляем во второе

2•1,15х + 3•1,20(1,5 х– 15) = 100

7,7х = 154

х = 20

у = 1,5•20 – 15 = 15

Ответ: 20 и 15 (деталей).