908

а) Двое рабочих за смену изготовили вместе 72 детали. После того как первый рабочий повысил производительность труда на 15%, а второй на 25%, вместе за смену они стали изготовлять 86 деталей. Сколько деталей изготовляет каждый рабочий за смену после повышения производительности труда?

Решение

х – количество изготавливаемых деталей первым рабочим за смену

у – количество изготавливаемых деталей вторым рабочим за смену

Имеем

х + у = 72            (1)

После того как первый рабочий повысил производительность труда на 15%, а второй на 25%, вместе за смену они стали изготовлять 86 деталей.

Имеем

1,15х + 1,25у = 86                 (2)

Уравнение (1) умножаем на 115, а второе уравнение – на 100. После чего из второго уравнения вычитаем первое.

10у = 320

у= 32

х = 40

После того повышения производительности труда

у = 1,25•32 = 40

х = 1,15•40 = 46

Ответ: 40 дет, 46 дет.

б) Двое рабочих за смену изготовили 90 деталей. После того как первый рабочий повысил производительность труда на 10%, а второй на 15%, вместе за смену они стали изготовлять 101 деталь. Сколько деталей изготовлял рабочий за смену до повышения производительности труда?

Решение

х – количество изготавливаемых деталей первым рабочим за смену

у – количество изготавливаемых деталей вторым рабочим за смену

Имеем

х + у = 90            (1)

После того как первый рабочий повысил производительность труда на 10%, а второй на 15%, вместе за смену они стали изготовлять 101 деталей.

Имеем

1,10х + 1,15у = 101               (2)

Уравнение (1) умножаем на 110, а второе уравнение – на 100. После чего из второго уравнения вычитаем первое.

5у = 200

у= 40

х = 50

Ответ: 40 дет, 50 дет.

 

909

а) Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 27 км, одновременно навстречу .друг другу вышли два пешехода и встретились через 3 ч. Пешеход, вышедший из А, приходит в В на 1 ч 21 мин раньше, чем второй приходит в А. Найдите скорость движения каждого пешехода.

Решение

х – скорость движения пешехода из А, км/час

у – скорость движения пешехода из В, км/час

27/х – время движения пешехода из А

27/у – время движения пешехода из В

3х + 3у = 27                 (1)

27/у – 27/х = 27/20      (2)

Из уравнения (1) х = 9 – у подставляем во второе

27/у – 27/(9 – у) = 27/20

у² – 49у + 180 = 0

D = b² – 4ac = (–49)² – 4•1•180 = 1681

Квадратный корень из D = 41

у₁ = (–b – D) / 2 a = (49 –41) / 2 = 4

у₂ = (–b + D) / 2 a = (49 + 41) / 2 = 45

х = 9 – у = 9 – 4 = 5

Ответ: 5 км/час, 4 км/час.

б) Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А в пункт В, расстояние от А до В 36 км. Через 2 ч один велосипедист обогнал второго на 6 км. С какой скоростью ехал каждый велосипедист, если известно, что первый прибыл в В на 36 мин раньше, чем второй?

Решение

х – скорость движения первого велосипедиста, км/час

у – скорость движения второго велосипедиста, км/час

36/х – время движения первого велосипедиста из пункта А в пункт В

36/у – время движения второго велосипедиста из пункта А в пункт В

2х – 2у = 6                   (1)

36/у – 36/х = 0,6           (2)

Из уравнения (1) х = 3 + у подставляем во второе

36/у – 36/(3 + у) = 0,6

у² + 3у – 180 = 0

D = b² – 4ac = (3)² + 4•1•180 = 729

Квадратный корень из D = 27

у₁ = (–b – D) / 2 a = (–3 – 27) / 2 = –15

у₂ = (–b + D) / 2 a = (–3 + 27) / 2 = 12

х = 3 + у = 3 + 12 = 15

Ответ: 15 км/час, 12 км/час.

 

910

Два велосипедиста выехали одновременно из города на турбазу находящуюся от города на расстоянии 60 км. Первый проезжал в час на 2 км больше и потому прибыл на турбазу на 25 мин раньше. Сколько времени находился в пути каждый велосипедист?

Решение

х – скорость движения второго велосипедиста, км/час

х + 2 – скорость движения первого велосипедиста, км/час

60/х – время движения второго велосипедиста

60/(х + 2) – время движения первого велосипедиста

60/х – 60/(х + 2) = 5/12

1440 = 5х² + 10х

х² + 2х – 288= 0

D = b² – 4ac = (2)² + 4•1•288 = 1156

Квадратный корень из D = 34

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–2 – 34) / 2 = –18

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–2 + 34) / 2 = 16

Ответ: 18 км/час, 16 км/час.

б) Велосипедист отправился из села в город, отстоящий от села на 30 км. Возвращаясь обратно по той же дороге, он уменьшил скорость на 2 км/ч и потому затратил на обратный путь на 30 мин больше. Сколько времени затратил велосипедист па путь из села в город?

Решение

х – скорость движения велосипедиста, км/час

х – 2 – скорость велосипедиста при обратном движении, км/час

30/х – время движения велосипедиста

30/(х – 2) – время велосипедиста при обратном движении

 30/(х – 2) – 30/х = 0,5

60 = 0,5х² – 1х

х² – 2х – 120= 0

D = b² – 4ac = (-2)² + 4•1•120 = 484

Квадратный корень из D = 22

х₁ = (–b – D) / 2 a = (2 – 22) / 2 = –10

x₂ = (–b + D) / 2 a = (2 + 22) / 2 = 12

30/х = 30/12 = 2,5

Ответ: 2,5 час.

 

911

а) Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу 2 группы туристов и встретились через 2 ч. Определите, с кокой скоростью шла каждая группа, если известно, что на прохождение всего пути одной из них потребовалось на 54 мин больше, чем другой.

Решение

х – скорость движения первой группы туристов, км/час

у – скорость движения второй группы туристов, км/час

18/х – время движения первой группы туристов

18/у – время движения второй группы туристов

2х + 2у = 18                 (1)

18/у – 18/х = 0,9 (2)

Из уравнения (1) х = 9 – у подставляем во второе

18/у – 18/(9 – у) = 0,9

у² – 49у + 180 = 0

D = b² – 4ac = (–49)² – 4•1•180 = 1681

Квадратный корень из D = 41

у₁ = (–b – D) / 2 a = (49 – 41) / 2 = 4

у₂ = (–b + D) / 2 a = (49 + 41) / 2 = 45

Ответ: 4 км/час, 5 км/час.

б) Из пункта А в пункт В расстояние между которыми 360 км, выехали одновременно два автомобиля. Через 3 ч оказалось, что первый из них прошел расстояние на 30 км больше, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если известно, что на весь путь первый автомобиль затратил на полчаса меньше, чем второй.

Решение

х – скорость движения первого автомобиля, км/час

у – скорость движения второго автомобиля, км/час

360/х – время движения первого автомобиля из пункта А в пункт В

360/у – время движения второго автомобиля из пункта А в пункт В

3х – 3у =30                  (1)

360/у – 360/х = 0,5      (2)

Из уравнения (1) х = 10 + у подставляем во второе

360/у – 360/(10 + у) = 0,5

у² + 10у – 7200 = 0

D = b² – 4ac = (10)² + 4•1•7200 = 28900

Квадратный корень из D = 170

у₁ = (–b – D) / 2 a = (–10 – 170) / 2 = –90

у₂ = (–b + D) / 2 a = (–10 + 170) / 2 = 80

х = 10 + у = 10 + 80 = 90

Ответ: 90 км/час, 80 км/час.

 

912

а) Из станции А в 5 ч утра вышел почтовый поезд по направлению к станции В, отстоящей от А па 1080 км. В 8 ч утра вышел со станции В по направлению к А скорый поезд, который проходит в час на 15 км больше, чем почтовый поезд. Когда встретились поезда, если их встреча произошла на середине пути А В? , '

Решение

х – скорость движения почтового поезда, км/час

х + 15 – скорость движения скорого поезда, км/час

3х – расстояние, пройденное почтовым поездом до момента выхода скорого

(540 – 3х)/х – время одновременного движения почтового со скорым до встречи

540/( х + 15) – время движения скорого поезда до встречи

(540 – 3х)/х = 540/( х + 15)

х² + 15х – 2700= 0

D = b² – 4ac = (15)² + 4•1•2700 = 11025

Квадратный корень из D = 105

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–15 – 105) / 2 = –60

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–15 + 105) / 2 = 45

540/х = 540/45 = 12

Ответ: Встреча поездов произошла в 17.00 час.

б) Расстояние между А и В равно 78 км. Из А выезжает велосипедист по направлен ню к В. Через 1 ч к нему навстречу отправляется из В другой велосипедист, движущийся в час на 4 км больше первого. Встреча произошла на расстоянии 36 км от В. Сколько времени до встречи ехал каждый из них и с какой скоростью?

Решение

х – скорость движения велосипедиста из А, км/час

х + 4 – скорость движения велосипедиста из В, км/час

1•х – расстояние, пройденное велосипедистом в течение часа

(42 –1•х)/х – время одновременного движения велосипедистов

36/( х + 4) – время движения велосипедиста из В до встречи

(42 –1•х)/х = 36/( х + 4)

х² – 2х – 168= 0

D = b² – 4ac = (–2)² + 4•1•168 = 676

Квадратный корень из D = 26

х₁ = (–b – D) / 2 a = (2 – 26) / 2 = –12

x₂ = (–b + D) / 2 a = (2 + 26) / 2 = 14

х + 4 = 14 + 4 = 18

Ответ: 14 км/час, 18 км/час; 3 часа, 2 часа.

 

913

а) Расстояние между городами А и В 260 км. Через 2 ч после выхода автобуса из А в В он был задержан на 30 мин, поэтому , чтобы прийти в В по расписанию, должен был увеличить скорость на 5 км/ч. Найти первоначальную скорость автобуса.

Решение

х – плановая скорость движения автобуса, км/час

х + 5 – увеличенная скорость, после задержки автобуса

260/х – плановое время движения автобуса

(260 – 2х)/(х + 5) – время двежения автобуса после задержки

260/х – (260 – 2х)/(х + 5) = 2,5

х² + 25х – 2600= 0

D = b² – 4ac = (25)² + 4•1•2600 = 11025

Квадратный корень из D = 105

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–25 – 105) / 2 = –65

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–25 + 105) / 2 = 40

Ответ: 40 км/час.

б) Велосипедист проехал 40 км из города в деревню. На обратном пути он ехал с той же скоростью, но через 2 ч езды сделал остановку на 20 мин. Начав движение снова, он увеличил скорость на 4 км/ч, а потому потратил на путь из деревни в город столько же времени, сколько на путь из города в деревню. Найти скорость велосипедиста на пути из города в деревню.

Решение

х – плановая скорость движения велосипедиста, км/час

х + 4 – увеличенная скорость, после задержки велосипедиста

40/х – плановое время движения велосипедиста

(40 – 2х)/(х + 4) – время двежения велосипедиста после задержки

40/х – (40 – 2х)/(х + 4) = 7/3

х² + 28х – 480= 0

D = b² – 4ac = (28)² + 4•1•480 = 2704

Квадратный корень из D = 52

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–28 – 52) / 2 = –40

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–28 + 52) / 2 = 12

Ответ: 12 км/час