901

а) Из пункта А в пункт В, отстоящий от А на 360 км, с некоторой постоянной скоростью отправился автомобиль. Затем он выехал обратно со скоростью на 15 км/ч большей и возвратился в пункт А, затратив на 2 ч меньше, чем на поездку из пункта А в пункт В. Найти первоначальную скорость автомобили.

Решение

х – скорость, км/час

х + 15 – скорость автомобиля с пункта В в пункт А, км/час

360/х – время движения автомобиля с пункта А в пункт В

360/(х + 15) – время движения автомобиля с пункта В в пункт А

360/х – 360/(х + 15) = 2

5400 = 2х² + 30х

х² + 15х – 2700 = 0

D = b² – 4ac = (15)² + 4•1•2700 = 11025

Квадратный корень из D = 105

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–15 – 105) / 2 = –60

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–15 + 105) / 2 = 45

Ответ 45 км/час.

б) Из пункта А в пункт В, отстоящий от А на 75 км, с некоторой постоянной скоростью отправился велосипедист. Затем он выехал обратно с той же скоростью, но через 2 ч после выезда из пункта В был вынужден остановиться на 45 мин. После этого велосипедист продолжил путь, увеличив скорость на 5 км/ч. Найти первоначальную скорость велосипедиста, если известно, что на обратный путь он затратил столько же времени, сколько и на путь из пункта А в пункт В.

Решение

х – первоначальная скорость велосипедиста, км/час

х + 5 – скорость велосипедиста после задержки, км/час

75/х – время движения велосипедиста пункта А в пункт В

(75 – 2х)/(х + 5) – время движения велосипедиста после задержки

75/х – (75 – 2х)/(х + 5) = 2,75

375 = 0,75х² + 13,75х

3х² + 55х – 1500 = 0

D = b² – 4ac = (55)² + 4•3•1500 = 21025

Квадратный корень из D = 145

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–55 – 145) / 6 = –100/3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–55 + 145) / 6 = 15

Ответ 15 км/час.

 

902

а) Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению за то же время, которое ему понадобилоськ бы для прохождения 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Решение

х – скорость катера

18/х – время движения катера по озеру

5/(х + 3) – время движения катера по течению

12/(х – 3) – время движения катера против течения

18/х = 5/(х + 3) + 12/(х – 3)

х² – 21х – 162 = 0

D = b² – 4ac = (–21)² + 4•1•162 = 1089

Квадратный корень из D = 33

х₁ = (–b – D) / 2 a = (21 – 33) / 2 = –6

x₂ = (–b + D) / 2 a = (21 + 33) / 2 = 27

Ответ 27 км/час.

б) Турист проплыл на байдарке 25 км по озеру и 9 км против течения реки за столько же времени, сколько ему потребовалось для того, чтобы проплыть по течению реки 56 км. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость байдарки в стоячей поде.

Решение

х – скорость байдарки

25/х – время движения байдарки по озеру

56/(х + 2) – время движения байдарки по течению

9/(х – 2) – время движения байдарки против течения

56/(х + 2) = 25/х + 9/(х – 2)

11х² – 65х + 50 = 0

D = b² – 4ac = (–65)² – 4•11•50 = 2025

Квадратный корень из D = 45

х₁ = (–b – D) / 2 a = (65 – 45) / 22 = 10/11

x₂ = (–b + D) / 2 a = (65 + 45) / 22 = 5

Ответ 5 км/час.

 

903

а) Моторная лодка прошла 28 км по течению реки и 25 км против течения, затратив на весь путь столько же времени, сколько ей понадобилось бы на прохождение 54 км в стоячей воде. Найдите собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

Решение

х – скорость лодки

54/х – время движения лодки в стоячей воде

28/(х + 2) – время движения байдарки по течению

25(х – 2) – время движения байдарки против течения

54/х = 28/(х + 2) + 25(х – 2)

х² + 6х – 216 = 0

D = b² – 4ac = (6)² – 4•1•216 = 900

Квадратный корень из D = 30

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–6 – 30) / 2 = –18

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–6 + 30) / 2 = 12

Ответ 12 км/час.

б) Катер прошел 5 км против течения и 14 км по течению реки, затратив на это столько времени, сколько ему понадобилось бы для прохождения 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна .3 км/ч?

Решение

х – скорость катера

18/х – время движения катера по озеру

14/(х + 3) – время движения катера по течению

5/(х – 3) – время движения катера против течения

18/х = 14(х + 3) + 5/(х – 3)

х² – 27х + 162 = 0

D = b² – 4ac = (–27)² – 4•1•162 = 81

Квадратный корень из D =

х₁ = (–b – D) / 2 a = (27 – 9) / 2 = 9

x₂ = (–b + D) / 2 a = (27 + 9) / 2 = 18

Ответ 9 км/час или 18 км/час.

 

904

а) Расстояние между двумя городами по реке 30 км. Моторная лодка проходит этот путь в два конца за 10 ч. Определите скорость лодки в стоячей воде, считая скорость течения реки 4 км/ч.

Решение

х – скорость лодки

30/(х + 4) – время движения лодки по течению

30/(х – 4) – время движения лодки против течения

30/(х + 4) + 30/(х – 4) = 10

60х = 10х² – 160

х² – 6х – 16 = 0

D = b² – 4ac = (–6)² + 4•1•16 = 100

Квадратный корень из D = 10

х₁ = (–b – D) / 2 a = (6 – 10) / 2 = –2

x₂ = (–b + D) / 2 a = (6 + 10) / 2 = 8

Ответ 8 км/час.

б) Моторная лодка прошла по течению 28 км и тотчас же вернулась назад. На путь туда и обратно ей потребовалось 7 ч. Определите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч.

Решение

х – скорость лодки

28/(х + 3) – время движения лодки по течению

28/(х – 3) – время движения лодки против течения

28/(х + 3) + 28/(х – 3) = 7

56х = 7х² – 63

х² – 8х – 9 = 0

D = b² – 4ac = (–8)² + 4•1•9 = 100

Квадратный корень из D = 10

х₁ = (–b – D) / 2 a = (8 – 10) / 2 = –1

x₂ = (–b + D) / 2 a = (8 + 10) / 2 = 9

Ответ 9 км/час.

 

905

а) Пароход прошел по течению реки 48 км и столько же против течения и затратил на весь путь 5 ч. Определите скорость парохода в стоячей воде, если скорость течения реки 4 км/ч.

Решение

х – скорость парохода

48/(х + 4) – время движения парохода по течению

48/(х – 4) – время движения парохода против течения

48/(х + 4) + 48/(х – 4) = 5

96х = 5х² – 80

5х² – 96х – 80 = 0

D = b² – 4ac = (–96)² + 4•5•80 = 10816

Квадратный корень из D = 104

х₁ = (–b – D) / 2 a = (96 – 104) / 10 = –0,8

x₂ = (–b + D) / 2 a = (96 + 104) / 10 = 20

Ответ 20 км/час.

б) Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение

х – скорость лодки

36/(х + 3) – время движения лодки по течению

36/(х – 3) – время движения лодки против течения

36/(х + 3) + 36/(х – 3) = 5

72х = 5х² – 45

5х² – 72х – 45 = 0

D = b² – 4ac = (–72)² + 4•5•45 = 6084

Квадратный корень из D = 78

х₁ = (–b – D) / 2 a = (72 – 78) / 10 = –0,6

x₂ = (–b + D) / 2 a = (72 + 78) / 10 = 15

Ответ 15 км/час.

 

906

а) Расстояние между пристанями 20 км. Этот путь туда и обратно катер проходит за 4 ч 10 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение

х – скорость катера

20/(х + 2) – время движения катера по течению

20/(х – 2) – время движения катера против течения

20/(х + 2) + 20/(х – 2) = 25/6

240х = 25х² – 100

5х² – 48х – 20 = 0

D = b² – 4ac = (–48)² + 4•5•20 = 2704

Квадратный корень из D = 52

х₁ = (–b – D) / 2 a = (48 – 52) / 10 = –0,4

x₂ = (–b + D) / 2 a = (48 + 52) / 10 = 10

Ответ 10 км/час.

б) Катер прошел 30 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 1,5 ч. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение

х – скорость катера

30/(х + 2) – время движения катера по течению

13/(х – 2) – время движения катера против течения

30/(х + 2) + 13/(х – 2) = 1,5

43х – 34 = 1,5х² – 6

3х² – 86х + 56 = 0

D = b² – 4ac = (–86)² – 4•3•56 = 6724

Квадратный корень из D = 82

х₁ = (–b – D) / 2 a = (86 – 82) / 6 = 2/3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (86 + 82) / 6 = 28

Ответ 28 км/час.

 

907

а) Из аэропорта вылетают одновременно в пункт, отстоящий от него на 1600 км, два самолета. Скорость одного из них на 80 км/ч больше скорости другого, а потому он прилетает к месту назначения на час раньше. Найдите скорость каждого самолета.

Решение

х – скорость движения второго самолета, км/час

х + 80 – скорость движения первого самолета, км/час

1600/х – время движения второго самолета

1600/(х + 80) – время движения первого самолета

1600/х – 1600/(х + 80) = 1

128000 = х² + 80х

х² + 80х – 128000 = 0

D = b² – 4ac = (80)² + 4•1•128000 = 518400

Квадратный корень из D = 720

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–80 – 720) / 2 = –400

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–80 + 720) / 2 = 320

Ответ: 400 км/час, 320 км/час.

б) Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго и поэтому первый автомобиль прибывает на место назначения на 1 час раньше второго. Определить скорость того и другого автомобилей, если известно, что расстояние между городами 560 км.

Решение

х – скорость движения второго автомобиля, км/час

х + 10 – скорость движения первого автомобиля, км/час

560/х – время движения второго автомобиля

560/(х + 10) – время движения первого автомобиля

560/х – 560/(х + 10) = 1

5600 = х² + 10х

х² + 10х – 5600 = 0

D = b² – 4ac = (10)² + 4•1•5600 = 22500

Квадратный корень из D = 150

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–10 – 150) / 2 = –80

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–10 + 150) / 2 = 70

Ответ: 80 км/час, 70 км/час.