896

а) Две землечерпательные машины разной мощности, работая вместе, могут углубить некоторый участок дна реки в течение 6 дней. Первая из них, работая отдельно, может выполнить эту работу на 9 дней быстрее, чем выполнит эту работу вторая. За сколько дней каждая из землечерпательных машин может углубить этот участок, работая отдельно?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первой машиной, дней

у – время на всю работу второй машиной, дней

1/х – производительность первой машины

1/у – производительность второй машины

Так как две машины, работая совместно, могли окончить работу за 6 дней, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•6 = 1           (1)

Так как первая машина могла бы выполнить работу на 9 дней скорее, чем вторая, то можем записать

у – х = 9              (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 9 + х

6/х + 6/(9 + х) = 1

12х + 54 = х² + 9х

х² – 3х – 54 = 0

D = b² – 4ac = (–3)² + 4•1•54 = 225

Квадратный корень из D = 15

х₁ = (–b – D) / 2 a = (3 – 15) / 2 = –7

x₂ = (–b + D) / 2 a = (3 + 15) / 2 = 9

у = 9 + 9 = 18

Ответ 9 дней, 18 дней

б) В бак проведены две трубы. При совместном их действии наполненный водой бак опоражнивается в течение 18 мин. Через одну первую трубу наполненный водой бак опоражнивается на 15 мин быстрее, чем при действии одной второй трубы. За сколько минут может опорожнить наполненный водой бак каждая труба, работая отдельно?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время слива воды из бака первой трубой, мин

у – время слива воды из бака бака второй трубой, мин

1/х – производительность первой трубы

1/у – производительность второй трубы

Так как две трубы, работая совместно, могли выполнить работу за 18 мин, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•18 = 1                   (1)

Так как первая труба может слить воду из бака на 15 мин быстрее, чем вторая, то можем записать

у – х = 15            (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 15 + х

18/х + 18/(15 + х) = 1

36х + 270 = х² + 15х

х² – 21х – 270 = 0

D = b² – 4ac = (–21)² + 4•1•270 = 1521

Квадратный корень из D = 39

х₁ = (–b – D) / 2 a = (21 – 39) / 2 = –9

x₂ = (–b + D) / 2 a = (21 + 39) / 2 = 30

у = 15 + 30 = 45

Ответ 30 мин, 45 мин.

897

а) Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый сделал половину этой работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог выполнить эту работу каждый в отдельности?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первому рабочему, час

у – время на всю работу второму рабочему, час

1/х – производительность первого рабочего

1/у – производительность второго рабочего

Так как двое рабочих, работая вместе, закончат некоторую работу за 12 час, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•12 = 1                   (1)

Если бы сначала первый сделал половину этой работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. Можем записать

0,5у + 0,5х = 25           (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 50 – х

12/х + 12/(50 – х) = 1

600 = –х² + 50х

х² – 50х + 600 = 0

D = b² – 4ac = (–50)² + 4•1•600 = 100

Квадратный корень из D = 10

х₁ = (–b – D) / 2 a = (50 – 10) / 2 = 20

x₂ = (–b + D) / 2 a = (50 + 10) / 2 = 30

Ответ: 20 часов, 30 часов.

б) При совместной работе двух тракторов различной мощности колхозное поле было вспахано за 8 дней. Если бы половину поля вспахать сначала одним трактором, то при дальнейшей работе двух тракторов вся работа была бы закончена за 10 дней. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором отдельно?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первому трактору, час

у – время на всю работу второму трактору, час

1/х – производительность первого трактора

1/у – производительность второго трактора

При совместной работе двух тракторов различной мощности колхозное поле было вспахано за 8 дней. На основании этого имеем

(1/х + 1/у)•8 = 1           (1)

Если бы половину поля вспахать сначала одним трактором, то при дальнейшей работе двух тракторов вся работа была бы закончена за 10 дней. Можем записать

(1/х + 1/у)•(10 – 0,5х) = 0,5           (2)

Из второго уравнения

(1/х + 1/у) = 0,5/(10 – 0,5х)   (3)

Из первого уравнения

(1/х + 1/у) = 1/8  (4)

Из уравнений (3) и (4)

0,5/(10 – 0,5х) = 1/8

20 – х = 8

х = 12

Это значение подставляем в уравнение (1), решая которое, имеем

у = 24

Ответ: 12 часов, 24 часа.

898

а) За 9 ч лодка прошла 48 км но течению реки и 12 км против течения. На следующий день за 8 ч 15 мин она прошла 30 км по течению и 18 км против течения. Найти скорость течения реки и собственную скорость лодки.

Решение

х – скорость лодки

у – скорость течения реки

48/(х + у) – пройденный путь лодкой по течению в первый день

12/(х – у) – пройденный путь лодкой против течения в первый день

30/(х + у) – пройденный путь лодкой по течению во второй день

18/(х – у) – пройденный путь лодкой против течения во второй день

48/(х + у) + 12/(х – у) = 9      (1)

30/(х + у) + 18/(х – у) = 33/4 (2)

Из уравнения (1): х² – у² = (60х – 36у)/9

Из уравнения (2): х² – у² = 4(48х – 12у)/33

(60х – 36у)/9 = 4(48х – 12у)/33

84х = 252у

х= 3у – полученное значение подставим в (1), откуда находим величины

у = 2; х = 6

Ответ 6 км/час; 2 км/час

б) Пароход за 6 ч 30 мин может пройти 80 км по течению и 40 км против течения реки, а 80 км против течения и 40 км по течению может пройти за 7 ч. Найти скорость течения реки и собственную скорость парохода

Решение

х – скорость парохода

у – скорость течения реки

80/(х + у) – пройденный путь пароходом по течению в первый день

40/(х – у) – пройденный путь пароходом против течения в первый день

40/(х + у) – пройденный путь пароходом по течению во второй день

8/(х – у) – пройденный путь пароходом против течения во второй день

80/(х + у) + 40/(х – у) = 6,5   (1)

40/(х + у) + 80/(х – у) = 7      (2)

Из уравнения (1): х² – у² = (120х – 40у)/6,5

Из уравнения (2): х² – у² = (120х + 40у)/7

(120х – 40у)/6,5 = (120х + 40у)/7

60х = 540у

х= 9у – полученное значение подставим в (1), откуда находим величины

у = 2; х = 18

Ответ 18 км/час; 2 км/час

899

а) Из двух городов, расстояние между которыми 900 км, отправляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Определить скорость каждого поезда, если первый вышел на 1 ч позднее второго и со скоростью на 5 км/ч больше, чем скорость второго поезда.

Решение

х –скорость движения второго поезда, км/час

х + 5 – скорость движения первого поезда, км/час

450/х – время движения второго поезда до встречи

450/(х + 5) – время движения первого поезда до встречи

450/х – 450/(х + 5) = 1

х² + 5х – 2250 = 0

D = b² – 4ac = (5)² + 4•1•2250 = 9025

Квадратный корень из D = 95

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–5 –95) / 2 = –50

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–5 + 95) / 2 = 45

Ответ: 50 км/час, 45 км/час.

б) Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость того и другого автомобиля, если известно, что расстояние между городами 560 км.

Решение

х – скорость движения второго автомобиля, км/час

х + 10 – скорость движения первого автомобиля, км/час

560/х – время движения второго автомобиля

560/(х + 10) – время движения первого автомобиля

560/х – 560/(х + 10) = 1

х² + 10х – 5600 = 0

D = b² – 4ac = (10)² + 4•1•5600 = 22500

Квадратный корень из D = 150

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–10 – 150) / 2 = –80

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–10 + 150) / 2 = 70

Ответ: 80 км/час, 70 км/час.

900

а) При совместной работе двух кранов самоходная баржа была загружена за 4 ч 12 мин. Сколько времени потребуется на загрузку такой же баржи каждым краном в отдельности, если более мощным краном баржу можно загрузить на 8 ч быстрее, чем одним краном меньшей мощности?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время загрузки баржи первым краном

у – время загрузки баржи вторым краном

1/х – производительность первого крана

1/у – производительность второго крана

Так как при совместной работе двух кранов самоходная баржа была загружена за 4 ч 12 мин, то

(1/х + 1/у)•21/5 = 1                (1)

Так как первый кран может загрузить баржуна 8 час быстрее, чем второй, то можем записать

у – х = 8              (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 8 + х

21/х + 21/(8 + х) = 5

42х + 168= 5х² + 40х

5х² – 2х – 168 = 0

D = b² – 4ac = (–2)² + 4•5•168 = 3364

Квадратный корень из D = 58

х₁ = (–b – D) / 2 a = (2 – 58) / 10 = –5,6

x₂ = (–b + D) / 2 a = (2 + 58) / 10 = 6

у = 8 + 6 = 14

Ответ 6 час, 14 час.

б) При совместной работе двух тракторов различной мощности поле было вспахано за 5 ч 50 мин. Одним более мощным трактором можно вспахать на 4 ч быстрее, чем одним трактором меньшей мощности. За сколько часов можно было бы вспахать все поле каждым трактором отдельно?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первым трактором

у – время на всю работу вторым трактором

1/х – производительность первого трактора

1/у – производительность второго трактора

Так как при совместной работе двух тракторов различной мощности поле было вспахано за 5 ч 50 мин, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•35/6 = 1                (1)

Так как первым трактором можно вспахать на 4 ч быстрее, то можем записать

у – х = 4              (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 4 + х

35/х + 35/(4 + х) = 6

70х + 140 = 6х² + 24х

3х² – 23х – 70 = 0

D = b² – 4ac = (–23)² + 4•3•70 = 1369

Квадратный корень из D = 37

х₁ = (–b – D) / 2 a = (23 – 37) / 6 = –7/3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (23 + 37) / 6 = 10

у = 4 + 10 = 14

Ответ 10 час, 14 час.