891

а) В совхозе имеются две теплицы общей площадью 160 м². В первой теплице собрали 1800 кг огурцов, а во второй – 1320 кг, причем во второй с 1 м² собрали на 4 кг больше, чем с той же площади в первой. Сколько огурцов собрали с 1 м² в той и другой теплицах?

Решение

х – площадь первой теплицы

(160 – х) – площадь второй теплицы

1800/х – урожайность первой теплицы

1320/(160 – х) – урожайность второй теплицы

1320/(160 – х) – 1800/х = 4

3120х – 288000 = 640х – 4х²

х² + 620х – 72000 = 0

D = b² – 4ac = (620)² + 4•1•72000 = 672400

Квадратный корень из D = 820

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–620 –820) / 2 = –720

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–620 + 820) / 2 = 100

1800/100 = 18 – урожайность первой теплицы

1320/(160 – 100) = 22– урожайность второй теплицы

Ответ: 18 кг/м² и 22 кг/м²

б) В совхозе имеются дне теплицы. В первой теплице собрали 1080 кг помидоров, а во второй – 980 кг, причем во второй с 1 м² собрали на 2 кг помидоров больше, чем с той же площади в первой, при атом площадь второй теплицы на 20 м² меньше площади первой. Какова площадь каждой теплицы?

Решение

х – площадь первой теплицы

(х – 20) – площадь второй теплицы

1080/х – урожайность первой теплицы

980/( х – 20) – урожайность второй теплицы

980/( х – 20) – 1080/х = 2

21600 – 100х = 2х² – 40х

х² + 30х – 10800 = 0

D = b² – 4ac = (30)² + 4•1•10800 = 44100

Квадратный корень из D = 210

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–30 –210) / 2 = –120

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–30 + 210) / 2 = 90

1800/100 = 18 – урожайность первой теплицы

1320/(160 – 100) = 22– урожайность второй теплицы

Ответ: 90 м² и 70 м²

892

а) Бригада лесорубов должна была заготовить 400 м³ дров. Эту работу лесорубы выполнили на 3 дня раньше, так как ежедневно заготовляли на 30 м³ дров больше, чем планировалось. Сколько дров заготовляла бригада ежедневно?

Решение

х – плановая норма заготовки дров

(х + 30) – фактическая величина заготовки дров

400/х – плановый срок заготовки дров

400/( х + 30) – фактический срок заготовки дров

400/х – 400/( х + 30) = 3

3х² + 90х – 12000 = 0

х² + 30х – 4000 = 0

D = b² – 4ac = (30)² + 4•1•4000 = 16900

Квадратный корень из D = 130

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–30 –130) / 2 = –130

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–30 + 130) / 2 = 50

Ответ: 80 м³

б) Совхоз должен был вспахать 900 га пашни с помощью 6 тракторов. Увеличив число тракторов в 2 раза, а ежедневную производительность каждого трактора на 2,5 га, совхоз всю работу выполнил на 9 дней раньше, чем планировалось. За сколько дней совхоз выполнил эту работу?

Решение

х – плановая производительность одного трактора

(х + 2,5) – фактическая производительность одного трактора

900/6х – плановый срок выполнения работы

900/12(х + 2,5) – фактический срок выполнения работы

900/6х – 900/12(х + 2,5) = 9

900х + 4500 = 108х² + 270х

6х² – 35х – 250 = 0

D = b² – 4ac = (–35)² + 4•1•250 = 7225

Квадратный корень из D = 85

х₁ = (–b – D) / 2 a = (35 –85) / 12 = –25/6

x₂ = (–b + D) / 2 a = (35 + 85) / 12 = 10

900/12(х + 2,5) = 900/12(10 + 2,5) = 6

Ответ: 6 дней

893

а) Двое рабочих, работая вместе, окончили работу за 2 дня. За сколько дней окончит эту же работу каждый из них, работая отдельно, если известно, что первый выполнит всю работу на 3 дня раньше второго?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первой бригадой, дней

у – время на всю работу второй бригадой, дней

1/х – производительность первой бригады

1/у – производительность второй бригады

Так как две бригады, работая совместно, могли окончить работу за 2 дня, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•2 = 1           (1)

Так как первая бригада могла бы выполнить работу на 3 дня скорее, чем вторая, то можем записать

у – х = 3              (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 3 + х

2/х + 2/(3 + х) = 1

4х + 6 = х² + 3х

х² – х – 6 = 0

D = b² – 4ac = (–1)² + 4•1•6 = 25

Квадратный корень из D = 5

х₁ = (–b – D) / 2 a = (1 – 5) / 2 = –2

x₂ = (–b + D) / 2 a = (1 + 5) / 2 = 3

у = 3 + 3 = 6

Ответ 3 часа, 6 часов.

б) Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 ч. За какое время могла бы обработать этот участок каждая из бригад в отдельности, если вторая бригада затратила бы на 10 ч больше, чем первая?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первой бригадой, дней

у – время на всю работу второй бригадой, дней

1/х – производительность первой бригады

1/у – производительность второй бригады

Так как две бригады, работая совместно, могли окончить работу за 12 часов, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•12 = 1                   (1)

Так как первая бригада могла бы выполнить работу на 10 часов скорее, чем вторая, то можем записать

у – х = 10            (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 10 + х

12/х + 12/(10 + х) = 1

24х + 120 = х² + 10х

х² – 14х – 120 = 0

D = b² – 4ac = (–14)² + 4•1•120 = 676

Квадратный корень из D = 26

х₁ = (–b – D) / 2 a = (14 – 26) / 2 = –6

x₂ = (–b + D) / 2 a = (14 + 26) / 2 = 20

у = 10 + 20 = 30

Ответ 20 часов, 30 часов.

894 а) Водонапорный бак наполняется двумя трубами за 2 ч 55 мин. Первая труба может наполнить его на 2 ч скорее, чем вторая. За сколько времени каждая труба, работая отдельно, может наполнить бак?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время наполнения бака первой трубой, час

у – время наполнения бака второй трубой, час

1/х – производительность первой трубы

1/у – производительность второй трубы

Так как две трубы, работая совместно, могли наполнить бак за 2 часа, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•35/12 = 1              (1)

Так как первая труба может наполнить бак на 3 часа быстрее, чем вторая, то можем записать

у – х = 2              (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 2 + х

(35/12)/х + (35/12)/(2 + х) = 1

70х + 70 = 12х² + 24х

6х² – 23х – 35 = 0

D = b² – 4ac = (–23)² + 4•6•35 = 1369

Квадратный корень из D = 37

х₁ = (–b – D) / 2 a = (23 – 37) / 12 = –7/6

x₂ = (–b + D) / 2 a = (23 + 37) / 12 = 5

у = 3 + 3 = 6

Ответ 5 часов, 7 часов.

б) Бассейн наполняется двумя трубами за 6 ч. Одна первая труба наполняет его на 5 ч быстрее, чем одна вторая . За какое время может наполнить бассейн каждая труба, работая отдельно?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время наполнения бассейна первой трубой, час

у – время наполнения бассейна второй трубой, час

1/х – производительность первой трубы

1/у – производительность второй трубы

Так как две трубы, работая совместно, могли наполнить бассейн за 6 часов, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•6 = 1           (1)

Так как первая труба может наполнить бассейн на 5 часов быстрее, чем вторая, то можем записать

у – х = 5              (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 5 + х

6/х + 6/(5 + х) = 1

12х + 30 = х² + 5х

х² – 7х – 30 = 0

D = b² – 4ac = (–7)² + 4•1•30 = 169

Квадратный корень из D = 13

х₁ = (–b – D) / 2 a = (7 – 13) / 2 = –3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (7 + 13) / 2 = 10

у = 5 + 10 = 15

Ответ 10 часов, 15 часов.

895

а) Бригада рабочих должна была изготовить 360 деталей. Изготовляя ежедневно на 4 детали больше, чем предполагалось по плану, бригада выполнила задание на 1 день раньше срока. Сколько дней затратила бригада на выполнение задания?

Решение

х – плановая норма изготовления деталей

(х + 4) – фактическая величина изготовления деталей

360/х – плановый срок изготовления деталей

360/( х + 4) – фактический срок изготовления деталей

360/х – 360/( х + 4) = 1

х² + 4х – 1440 = 0

D = b² – 4ac = (4)² + 4•1•1440 = 5776

Квадратный корень из D = 76

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–4 –76) / 2 = –40

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–4 + 76) / 2 = 36

360/( х + 4) = 360/( 36 + 4) = 9

Ответ: 9 дней

б) Две бригады должны были изготовить по 780 деталей. Первая изготовляла в день на 9 деталей больше второй и поэтому выполнила задание на 6 дней раньше, чем вторая. Сколько дней затратила каждая бригада на .выполнение задания?

Решение

х – норма изготовления деталей второй бригадой

(х + 9) – норма изготовления деталей первой бригадой

780/х – срок изготовления деталей второй бригадой

780/( х + 9) – срок изготовления деталей первой бригадой

780/х – 780/( х + 9) = 6

7020 = 6х² + 54х

х² + 9х – 1170 = 0

D = b² – 4ac = (9)² + 4•1•1170 = 4761

Квадратный корень из D = 69

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–9 –69) / 2 = –39

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–9 + 69) / 2 = 30

780/( х + 9) = 780/(30 + 9) = 20

780/х = 780/30 = 26

Ответ: 20 дней, 26 дней