808

а) Периметр прямоугольника равен 46 см, а диагональ его

равна 17 см. Найдите площадь прямоугольника,

Решение

Сумма двух непараллельных сторон прямоугольника равна 23 см. Обозначим одну сторону за х см, тогда вторая сторона – (23 – х) см.

(23 – х)² + х² = 17²

529 – 46 х + х² + х²= 289

2 х² – 46 х + 240 = 0

х² – 23 х + 120 = 0

D = b² – 4ac = (–23)² –4•1•120 = 49

Квадратный корень из D = 7

х₁ = (–b – D) / 2 a = (23 – 7) / 2 = 8

x₂ = (–b + D) / 2 a = (23 + 7) / 2 = 15

Стороны прямоугольника равны – 8 см и 15 см.

Площадь прямоугольника равна произведению двух непараллельных сторон

S = 8 • 15 = 120 см²

 

 

б) Периметр прямоугольника 26 см, а площадь его 36 см² . Найдите длины сторон прямоугольника.

Решение

Сумма двух непараллельных сторон прямоугольника равна 13 см. Обозначим одну сторону за х см, тогда вторая сторона – (13 – х) см. Площадь прямоугольника равна произведению двух непараллельных сторон

(13 – х) • х = 36

13 х – х² = 36

х² – 13 х + 36 = 0

D = b² – 4ac = (–13)² – 4•1•36 = 25

Квадратный корень из D = 5

х₁ = (–b – D) / 2 a = (13 – 5) / 2 = 4

x₂ = (–b + D) / 2 a = (13 + 5) / 2 = 9

Стороны прямоугольника равны – 4 см и 9 см.

 

 

809

а) Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного

из катетов на 25 см и больше другого на 2 см. Найдите стороны треугольника.

Решение

Обозначим длину гипотенузы за х . Длины сторон катетов – (х – 25) и (х – 2). По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

х² = (х – 25)² + (х – 2)².

х² = х² – 50 х + 625 + х² – 4 х + 4

х² – 54 х + 629 = 0

D = b² – 4ac = (–54)² – 4•1•629 = 400

Квадратный корень из D = 20

х₁ = (–b – D) / 2 a = (54 – 20) / 2 = 17

x₂ = (–b + D) / 2 a = (54 + 20) / 2 = 37

Принимаем длину гипотенузы равной 37, так как 17 < 25.

Катеты соответственно равны – 12 и 35 см.

 

б) Одна сторона прямоугольника больше другой на 1 см и меньше его диагонали на 8 см. Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Обозначим одну сторону прямоугольника за х , другую – (х – 1), а диагональ

(х + 8)

(х + 8)² = х² + (х – 1)²

х² + 16 х + 64 = х² + х² – 2 х + 1.

х² – 18 х – 63 = 0

D = b² – 4ac = (–18)² + 4•1•63 = 576

Квадратный корень из D = 24

х₁ = (–b – D) / 2 a = (18 – 24) / 2 = –3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (18 + 24) / 2 = 21

Стороны прямоугольника равны – 21 см и 20 см.

Площадь прямоугольника равна произведению двух непараллельных сторон

S = 21 • 20 = 420 см²

 

 

810

а) Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного катета на ,3 см, а другого на 6 см. Найдите катеты прямоугольного треугольника.

Решение

Обозначим длину гипотенузы за х . Длины сторон катетов – (х – 3) и (х – 6). По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

х² = (х – 6)² + (х – 3)².

х² = х² – 12 х + 36 + х² – 6 х + 9

х² – 18 х + 45 = 0

D = b² – 4ac = (–18)² – 4•1•45 = 144

Квадратный корень из D = 12

х₁ = (–b – D) / 2 a = (18 – 12) / 2 = 3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (18 + 12) / 2 = 15

Принимаем длину гипотенузы равной 15, так как 15 > 3 и 15 > 6

Катеты соответственно равны – 9 и 12 см.

 

б) Один катает прямоугольного треугольника на 5 см больше другого. Найдите больший из катетов треугольника, если его площадь равна 7 см².

Решение

Обозначим длину одного из катетов за х . Длина второго катета – (х + 5). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведению катетов

х (х + 5) = 7 • 2

х² + 5 х –14 =0

D = b² – 4ac = (5)² + 4•1•14 = 81

Квадратный корень из D = 9

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–5 – 9) / 2 = –7

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–5 + 9) / 2 = 2

Длина большего катета равна – 7 см.

 

 

811

а) Периметр земельного участка прямоугольной формы равен 60 м, а его площадь 200 м². Найдите длину и ширину участка.

Решение

Сумма двух непараллельных сторон прямоугольника равна 30 м. Обозначим одну сторону за х м, тогда вторая сторона – (30 – х) м. Площадь прямоугольника равна произведению двух непараллельных сторон

(30 – х) • х = 200

30 х – х² = 200

х² – 30 х + 200 = 0

D = b² – 4ac = (–30)² – 4•1•200 = 100

Квадратный корень из D = 10

х₁ = (–b – D) / 2 a = (30 – 10) / 2 = 10

x₂ = (–b + D) / 2 a = (30 + 10) / 2 = 20

Стороны прямоугольника участка равны – 10 м и 20 м.

 

б) Длина земельного участка прямоугольной формы на 20 м больше его ширины, а площадь равна 800 м². Найдите длину и ширину участка.

Решение

Обозначим ширину прямоугольного участка через х м, тогда длина участка – (20+х) м. Площадь прямоугольника равна произведению двух непараллельных сторон

(20 + х) • х = 800

20 х + х² = 800

х² + 20 х – 800 = 0

D = b² – 4ac = (20)² – 4•1•800 = 3600

Квадратный корень из D = 60

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–20 – 60) / 2 = –40

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–20 + 60) / 2 = 20

Стороны прямоугольного участка равны – 40 м и 20 м.