880

а) Первая машинистка напечатала 320 страниц, а вторая 270 страниц. Первая машинистка печатала в день на 2 страницы меньше, чем вторая, и работала на 5 дней больше, чем вторая. Сколько страниц в день печатала первая машинистка?

Решение

х – количество страниц, что печатала первая машинистка за день

(х + 2) – количество страниц, что печатала вторая машинистка за день

320/х – количество дней, что печатала первая машинистка

270/(х + 2) – количество дней, что печатала вторая машинистка

320/х – 270/(х + 2) = 5

50х + 640 = 5х² +10х

х² – 8х – 128 = 0

D = b² – 4ac = (–8)² + 4•1•128 = 576

Квадратный корень из D = 24

х₁ = (–b – D) / 2 a = (8 – 24) / 2 = –8

x₂ = (–b + D) / 2 a = (8 + 24) / 2 = 16

Ответ: 20 дней и 15 дней

б) Первая машинистка напечатала 270 страниц, печатая в день на 2 страницы больше второй машинистки, и работала на 1 день меньше, чем вторая. Сколько страниц в день печатала вторая машинистка, если всего она напечатала 280 страниц?

Решение

х – количество страниц, что печатала вторая машинистка за день

(х + 2) – количество страниц, что печатала первая машинистка за день

280/х – количество дней, что печатала вторая машинистка

270/(х + 2) – количество дней, что печатала первая машинистка

280/х – 270/(х + 2) = 1

10х + 560 = х² +2х

х² – 8х – 560 = 0

D = b² – 4ac = (–8)² + 4•1•560 = 2304

Квадратный корень из D = 48

х₁ = (–b – ) / 2 a = (8 – 48) / 2 = –20

x₂ = (–b + ) / 2 a = (8 + 48) / 2 = 28

Ответ: 9 дней и 10 дней

881

а) Бригада рабочих должна была по плану изготовить 250 деталей к определенному сроку. Изготовляя в день по 5 деталей сверх нормы, бригада уже за 1 день до срока изготовила 270 деталей. За сколько дней бригада изготовила 270 деталей?

Решение

х – плановая норма выпуска деталей

(х + 5) – фактическая норма выпуска деталей

250/х – плановый срок выпуска деталей

270/(х + 5) –фактический срок выпуска деталей

250/х –270/(х + 5) = 1

1250 – 20х = х² + 5х

х² +25х – 1250 = 0

D = b² – 4ac = (25)² + 4•1•1250 = 5625

Квадратный корень из D = 75

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–25 –75) / 2 = –50

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–25 + 75) / 2 = 25

Ответ: 9 дней.

б) Два ученика должны были обработать по 120 деталей за определенный срок. Первый из них, обрабатывая на 2 детали в час больше второго, за 3 ч до срока обработал 136 деталей. За сколько часов первый ученик обработал 136 деталей?

Решение

х – плановая норма обработки деталей вторым учеником

(х + 2) –фактическая норма обработки деталей первым учеником

120/х – плановый срок обработки деталей вторым учеником

136/(х + 2) –фактический срок обработки деталей первым учеником

120/х – 136/(х + 2) = 3

240 – 16х = 3х² +6х

3х² +22х – 240 = 0

D = b² – 4ac = (22)² + 4•3•240 = 3364

Квадратный корень из D =

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–22 – 58) / 6 = –40/3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–22 + 58) / 6 = 6

136/(х + 2) = 136/(6 + 2) = 17

Ответ: 17 дней

882

а) Бригада должна была сделать за смену 3600 деталей, причем каждый рабочий должен делать одинаковое количество деталей. Однако в бригаде заболело трое рабочих, поэтому для выполнения нормы каждому из работающих пришлось сделать на 40 деталей больше. Сколько рабочих было в бригаде?

Решение

х – количество рабочих в бригаде

(х – 3) – фактическое количество рабочих в бригаде

3600/х – плановая норма выпуска деталей рабочим

3600/(х – 3) – фактическая норма выпуска деталей рабочим

3600/(х – 3) – 3600/х = 40

10800 = 40х² – 120х

х² – 3х – 270 = 0

D = b² – 4ac = (–3)² + 4•1•270 = 1089

Квадратный корень из D = 33

х₁ = (–b – D) / 2 a = (3 – 33) / 2 = –15

x₂ = (–b + D) / 2 a = (3 + 33) / 2 = 18

Ответ: 18 рабочих

б) Бригада трактористов должна была вспахать 600 га к определенному сроку, но уже за 3 дня до срока задание было выполнено, так как бригада перевыполняла ежедневную норму на 10 га. За сколько дней бригада вспахала 600 га?

Решение

х – плановая норма пахоты

(х + 10) – фактический объем пахоты

600/х – плановый срок выполнения работы

600/(х + 10) – фактический срок выполнения работы

600/х – 600/(х + 10) = 3

6000 = 3х² + 30х

х² + 10х – 2000 = 0

D = b² – 4ac = (10)² + 4•1•2000 = 8100

Квадратный корень из D = 90

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–10 – 90) / 2 = –50

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–10 + 90) / 2 = 40

600/(х + 10) = 600/(40 + 10) = 12

Ответ: 12 дней

883

а) Две бригады, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 12 ч. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить эту работу на 10 ч быстрее, чем вторая. Сколько часов потребовалось бы первой бригаде для выполнения этой работы?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первой бригадой, часов

у – время на всю работу второй бригадой, часов

1/х – производительность первой бригады

1/у – производительность второй бригады

Так как две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторую работу за 12 ч, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•12 = 1                   (1)

Так как первая бригада могла бы выполнить эту работу на 10 ч скорее, чем вторая, то можем записать

у – х = 10            (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 10 + х

12/х + 12/(10 + х) = 1

120 + 24х = х² + 10х

х² – 14х – 120 = 0

D = b² – 4ac = (–14)² + 4•1•120 = 676

Квадратный корень из D = 26

х₁ = (–b – D) / 2 a = (14 – 26) / 2 = –6

x₂ = (–b + D) / 2 a = (14 + 26) / 2 = 20

у = 6 + 6 = 12

Ответ 20 часов.

б) Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 ч. За сколько часов может наполнить бассейн первая груба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3 ч быстрее, чем вторая?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время наполнения бака первой трубой, час

у – время наполнения бака второй трубой, час

1/х – производительность первой трубы

1/у – производительность второй трубы

Так как две трубы, работая совместно, могли наполнить бак за 2 часа, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•2 = 1           (1)

Так как первая труба может наполнить бак на 3 часа быстрее, чем вторая, то можем записать

у – х = 3              (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 3 + х

2/х + 2/(3 + х) = 1

4х + 6 = х² + 3х

х² – х – 6 = 0

D = b² – 4ac = (–1)² + 4•1•6 = 25

Квадратный корень из D = 5

х₁ = (–b – D) / 2 a = (1 – 5) / 2 = –2

x₂ = (–b + D) / 2 a = (1 + 5) / 2 = 3

у = 3 + 3 = 6

Ответ 3 часа, 6 часов.

а) Две бригады рабочих, работая вместе, могут выполнить задание за 3 ч. Сколько времени потребуется для выполнения этого задания первой бригаде, если она может выполнить все задание на 8 ч быстрее второй?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первой бригадой, часов

у – время на всю работу второй бригадой, часов

1/х – производительность первой бригады

1/у – производительность второй бригады

Так как две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторую работу за 3 ч, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•3 = 1           (1)

Так как первая бригада могла бы выполнить эту работу на 8 ч скорее, чем вторая, то можем записать

у – х = 8              (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 8 + х

3/х + 3/(8 + х) = 1

24 + 6х = х² + 8х

х² + 2х – 24 = 0

D = b² – 4ac = (2)² + 4•1•24 = 100

Квадратный корень из D = 10

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–2 – 10) / 2 = –6

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–2 + 10) / 2 = 4

Ответ 4 часа.

б) Два трактора, работая вместе, могут выполнить задание за 2 ч. Первому трактору, если он будет работать один, потребуется на выполнение всего задания на 3 ч больше, чем второму. За сколько времени может выполнить все задание первый трактор?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первому трактору, часов

у – время на всю работу второму трактору, часов

1/х – производительность первого трактора

1/у – производительность второго трактора

Так как два трактора, работая совместно, могут выполнить некоторую работу за 2 ч, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•2 = 1           (1)

Так как первому трактору, если он будет работать один, потребуется на выполнение всего задания на 3 ч больше, чем второму, то можем записать

х – у = 3              (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

х = 3 + у

2/(3 + у) + 2/у = 1

6 + 4у = у² + 3у

у² – у – 6 = 0

D = b² – 4ac = (–1)² + 4•1•6 = 25

Квадратный корень из D = 5

у₁ = (–b – D) / 2 a = (1 – 5) / 2 = –2

у₂ = (–b + D) / 2 a = (1 + 5) / 2 = 3

х = 3 + у = 3 + 3 = 6

Ответ 6 часа.

885

а) В техникуме для проведения письменного экзамена по математике было заготовлено 400 листов бумаги. Но так как на экзаменах по предыдущим предметам отсеялось 20 человек, то на каждого пришлось на 1 лист бумаги больше. Сколько листов бумаги было заготовлено на каждого поступающего первоначально?

Решение

х – количество поступающих учащихся

(х – 20) – фактическое количество поступающих учащихся

400/х – плановая норма листов бумаги

400/(х – 20) – фактическая норма листов бумаги

400/(х – 20) – 400/х = 1

х² – 20х – 8000 = 0

D = b² – 4ac = (–20)² + 4•1•8000 = 32400

Квадратный корень из D = 180

х₁ = (–b – D) / 2 a = (20 – 180) / 2 = –80

x₂ = (–b + D) / 2 a = (20 + 180) / 2 = 100

400/х = 400/100 – 4

Ответ: 4 листа

б) Для перевозки 60 т груза намечалось использовать несколько грузовиков. Ввиду большого подъема пути на каждый грузовик пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, а поэтому потребовалось дополнительно еще 4 машины. Какое количество грузовиков намечалось использовать первоначально?

Решение

х – первоначальное количество грузовиков

(х + 4) – фактическое количество грузовиков

60/х – плановая норма листов бумаги

60/(х + 4) – фактическая норма листов бумаги

60/х –60/(х + 4) = 0,5

240 = 0,5х(х + 4)

х² + 4х – 480 = 0

D = b² – 4ac = (4)² + 4•1•480 = 1936

Квадратный корень из D = 44

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–4 –44) / 2 = –24

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–4 +44) / 2 = 20

Ответ: 20 грузовикоа