875

а) Знаменатель дроби на 2 единицы больше числителя. Если от обратной величины этой дроби с числителем, уменьшенным на 1, отнять первоначальную дробь, то получится 11/15. Определить первоначальную дробь.

Решение

Обозначим числитель исходной дроби за х, а знаменатель за (х + 2). Исходная дробь имеет вид х/(х + 2). Обратная дробь с числителем, уменьшенным на единицу (х + 1)/х. Вычитаем от обратной дроби исходную дробь.

(х + 1)/х – х/(х + 2) = 11\15

15((х + 1) (х + 2) – х²) = 11х(х + 2)

11х² – 23 х – 30 = 0

D = b² – 4ac = (–23)² + 4•11•30 = 1849

Квадратный корень из D = 43

х₁ = (–b – D) / 2 a = (23 – 43) / 22 = –10/11

x₂ = (–b + D) / 2 a = (23 + 43) / 22 = 3

Исходная дробь имеет вид: (3/5); (–5/6)

б) Числитель некоторой дроби на 4 единицы меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с дробью, обратной данной, то получится 106/45. Найдите данную дробь.

Решение

Обозначим числитель исходной дроби за (х – 4), а знаменатель за х. Исходная дробь имеет вид (х – 4)/х. Если эту дробь сложить с дробью, обратной данной, то

(х – 4)/х + х/(х – 4) = 106\45

45(х – 4)² + 45х² = 106 х (х – 4)

45х² –360х + 720 + 45х² = 106 х² – 424х

16х² – 64 х – 720 = 0

х² – 4 х – 45 = 0

D = b² – 4ac = (–4)² + 4•1•45 = 196

Квадратный корень из D = 14

х₁ = (–b – D) / 2 a = (4 – 14) / 2 = –5

x₂ = (–b + D) / 2 a = (4 + 14) / 2 = 9

Исходная дробь имеет вид: (5/9); (9/5)

877

а) Стороны двух квадратов пропорциональны числам 5 и 4. Если стороны каждого из квадратов уменьшить на 2 см, то разность площадей полученных квадратов будет равна 28 см² . Найдите стороны данных квадратов.

Решение

Обозначим стороны квадратов 5х и 4х. Если стороны каждого из квадратов уменьшить на 2 см, то имеем (5х – 2) и (4х – 2). Разность площадей полученных квадратов будет равна 28 см², то есть

(5х – 2)² + (4х – 2)² = 28

9х² – 4х – 28 = 0

D = b² – 4ac = (–4)² + 4•1•28 = 1024

Квадратный корень из D = 32

х₁ = (–b – D) / 2 a = (4 – 32) / 18 = –14/9

x₂ = (–b + D) / 2 a = (4 + 32) / 18 = 2

Стороны данных квадратов соответственно равны: 10 см и 8 см.

б) Длина и ширина прямоугольника пропорциональны числам 3 и 2. Если длину данного прямоугольника увеличить в 2 раза, а ширину уменьшить на 1 см, то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного на 12 см². Найдите длину и ширину данного прямоугольника.

Решение

Обозначим стороны прямоугольника 3х и 2х. Если длину данного прямоугольника увеличить в 2 раза, а ширину уменьшить на 1 см, то стороны прямоугольника 6х и (2х – 1). Площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного на 12 см², то есть

6х (2х – 1) – 3х • 2х = 12

х² – х – 2 = 0

D = b² – 4ac = (–1)² + 4•1•2 = 9

Квадратный корень из D = 3

х₁ = (–b – D) / 2 a = (1 – 3) / 2 = –1

x₂ = (–b + D) / 2 a = (1 + 3) / 2 = 2

Стороны прямоугольника соответственно равны: 6 см и 4 см.

878

а) Завод по плану должен был изготовить 180 станков к определенному сроку. Перевыполняя дневную норму на 2 станка, завод выполнил задание на 1 день раньше срока. За сколько дней завод выполнил плен?

Решение

х – плановая дневная норма выпуска станков

(х + 2) – фактическая дневная норма выпуска станков

180/х – плановый срок выпуска станков

180/(х + 2) –фактический срок выпуска станков

180/х – 180/(х + 2) = 1

360 = х² +2х

х² +2х – 360 = 0

D = b² – 4ac = (2)² + 4•1•360 = 1444

Квадратный корень из D = 38

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–2 – 38) / 2 = –20

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–2 + 38) / 2 = 18

Ответ: 9 дней.

б) Завод по плану должен был изготовить 800 деталей к определенному сроку. Перевыполняя дневную норму на 20 деталей, завод выполнил задание на 2 дня раньше срока. За сколько дней завод выполнил план?

Решение

х – плановая дневная норма выпуска станков

(х + 20) – фактическая дневная норма выпуска станков

800/х – плановый срок выпуска станков

800/(х + 20) –фактический срок выпуска станков

800/х – 800/(х + 20) = 2

16000 = 2х² +40х

х² +20х – 8000 = 0

D = b² – 4ac = (20)² + 4•1•8000 = 32400

Квадратный корень из D = 180

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–20 – 180) / 2 = –100

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–20 + 180) / 2 = 80

Ответ: 8 дней.

879

а) Две бригады за определенный срок должны были изготовить по 180 деталей. Изготовляя в час на 2 детали больше первой, вторая бригада выполнила задание на 3 часа раньше срока. За сколько часов каждая бригада выполнила задание?

Решение

х – плановая норма выпуска деталей

(х + 2) – фактическая норма выпуска станков второй бригадой

180/х – плановый срок выпуска деталей

180/(х + 2) –фактический срок выпуска деталей

180/х – 180/(х + 2) = 3

360 = 3х² +6х

х² +2х – 120 = 0

D = b² – 4ac = (2)² + 4•1•120 = 484

Квадратный корень из D = 22

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–2 – 22) / 2 = –12

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–2 + 22) / 2 = 10

Ответ: 18 часов и 15 часов

б) Две бригады за определенный срок должны были изготовить по 300 деталей. Изготовляя в день на 10 деталей больше второй, первая бригада выполнила задание на 1 день раньше срока. За сколько часов каждая бригада выполнила задание?

Решение

х – плановая норма выпуска деталей

(х + 10) – фактическая норма выпуска станков первой бригадой

300/х – плановый срок выпуска деталей

300/(х + 10) –фактический срок выпуска деталей

300/х – 300/(х + 10) = 1

3000 = х² +10х

х² +10х – 3000 = 0

D = b² – 4ac = (10)² + 4•1•3000 = 12100

Квадратный корень из D = 110

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–10 – 110) / 2 = –60

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–10 + 110) / 2 = 50

Ответ: 6 дней и 5 дней