871

а) Сад и огород имеют форму прямоугольника; площадь каждого из них равна 1500 м , Ширина сада на 5 м меньше ширины огорода, зато длина сада на 10 м больше длины огорода. Найти размеры сада и огорода.

Решение

х – ширина сада, м

у – длина огорода, м

х + 5 – ширина огорода, м

у + 10 – длина сада, м

х(у + 10) = 1500           (1)

у(х + 5) = 1500             (2)

Из первого уравнения у= 1500/х – 10 = (1500 – 10х)/х подставляем во второе

(1500 – 10х)/х (х + 5) = 1500

(1500 – 10х) (х + 5) = 1500 х

х² + 5х – 750 = 0

D = b² – 4ac = (5)² + 4•1•750 = 3025

Квадратный корень из D = 55

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–5 –55) / 2 = –30

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–5 + 55) / 2 = 25

Таким образом, ширина сада равна 25 м. Ширина огорода – 30 м. Длина огорода 50 м. Длина сада – 60 м.

Ответ: Размеры сада (25 м; 60 м), огорода (30 м; 50 м).

б) Спортивная площадка прямоугольной формы имеет площадь, равную 840 м². Если длину площадки уменьшить на 5 м, а ширину увеличить на 4 м, то получится прямоугольник, равновеликий первому. Найти размеры спортивной площадки.

Решение

х – ширина площадки, м

у – длина площадки, м

ху = 840 (1)

(х + 4) – ширина огорода, м

(у – 5) – длина сада, м

(х + 4) (у – 5) = 840 (2)

Из первого уравнения у= 840/х подставляем во второе

(х + 4) (840/х – 5) = 840

х² + 4х – 672 = 0

D = b² – 4ac = (4)² + 4•1•672 = 2704

Квадратный корень из D = 52

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–4 –52) / 2 = –28

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–4 + 52) / 2 = 24

у= 840/х = 840/24 = 35

Ответ: Размеры площадки 24 м; 35 м.

872

а) Доска прямоугольной формы имеет площадь, равную 5400 см² . От нее отрезали часть прямоугольной формы той же ширины и длиной в 1,5 м. Оставшаяся часть доски представляет собой квадрат. Найти площадь этого квадрата.

Решение

у – ширина доски, см

у² + 150у = 5400

у² + 150у – 5400 = 0

D = b² – 4ac = (150)² + 4•1•5400 = 44100

Квадратный корень из D = 210

у₁ = (–b – D) / 2 a = (–150 –210) / 2 = –180

у₂ = (–b + D) / 2 a = (–150 + 210) / 2 = 30

Ответ: Размеры доски 30 см; 1800 см.

б) От листа оконного стекла квадратной формы отрезали прямоугольную полосу шириной 40 см. Оставшуюся прямоугольную часть стекла разрезали на 2 прямоугольных куска, каждый площадью 1600 см2 . Найти ширину листа стекла, от которого отрезали полосу.

Решение

у – размер оконного стекла, м

у² = 40у + 3200

у² – 40у – 3200 = 0

D = b² – 4ac = (–40)² + 4•1•3200 = 14400

Квадратный корень из D = 120

х₁ = (–b – D) / 2 a = (40 –120) / 2 = –40

x₂ = (–b + D) / 2 a = (40 + 120) / 2 = 80

Ответ: 80 см.

873

а) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше длины одного из катетов на 2 дм, а другого на 4 дм. Найти длину катетов.

Решение

х – длина гипотенузы, дм

(х – 2) – длина одного из катетов, дм

(х – 4) – длина второго катета, дм

По теореме Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

х² = (х – 2)² + (х – 4)²

х² = х² – 4х + 4 + х² – 8х + 16

х² – 12х + 20 = 0

D = b² – 4ac = (–12)² – 4•1•20 = 64

Квадратный корень из D = 8

х₁ = (–b – D) / 2 a = (12 – 8) / 2 = 2

x₂ = (–b + D) / 2 a = (12 + 8) / 2 = 10

Ответ: Длины катетов 6 и 8 дм.

б) Пери метр прямоугольного треугольники равен 40 см, а гипотенуза – 17 см. Найти длины катетов треугольника.

Решение

Сумма длин катетов равна (40 – 17) = 23 см

х – длина одного из катетов, см

(23 – х) – длина второго катета, см

По теореме Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

17² = х² + (23 – х)²

х² – 23х + 120 = 0

D = b² – 4ac = (–23)² – 4•1•120 = 49

Квадратный корень из D = 7

х₁ = (–b – D) / 2 a = (23 – 7) / 2 = 8

x₂ = (–b + D) / 2 a = (23 + 7) / 2 = 15

Ответ: Длины катетов 8 и 15 см.

874

а) Одна сторона прямоугольника больше другой на 1 см и меньше его диагонали на 8 см. Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Обозначим одну сторону прямоугольника за х , другую – (х – 1), а диагональ

(х + 8)

(х + 8)² = х² + (х – 1)²

х² + 16 х + 64 = х² + х² – 2 х + 1.

х² – 18 х – 63 = 0

D = b² – 4ac = (–18)² + 4•1•63 = 576

Квадратный корень из D = 24

х₁ = (–b – D) / 2 a = (18 – 24) / 2 = –3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (18 + 24) / 2 = 21

Стороны прямоугольника равны – 21 см и 20 см.

Площадь прямоугольника равна произведению двух непараллельных сторон

S = 21 • 20 = 420 см²

б) Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из катетов на 25 см и больше другого на 2 см. Найти стороны треугольника.

Решение

х – длина гипотенузы, дм

(х – 2) – длина одного из катетов, дм

(х –25) – длина второго катета, дм

По теореме Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

х² = (х – 2)² + (х – 25)²

х² = х² – 4х + 4 + х² – 50х + 625

х² – 54х + 629 = 0

D = b² – 4ac = (–54)² – 4•1•629 = 400

Квадратный корень из D = 20

х₁ = (–b – D) / 2 a = (54 – 20) / 2 = 17

x₂ = (–b + D) / 2 a = (54 + 20) / 2 = 37

Ответ: Длины катетов 35 и 12 см, гипотенузы – 37 см.