840

а) Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за 8 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 12 ч скорее, чем второй. За сколько .часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить работу?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первому рабочему, час

у – время на всю работу второму рабочему, час

1/х – производительность первого рабочего

1/у – производительность второго рабочего

Так как двое рабочих, работая вместе, закончили проведение электропроводки за 8 час, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•8 = 1           (1)

Так как первый рабочий мог выполнить эту работу за 5 дней скорее, чем второй, то можем записать

у – х = 12            (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 12 + х

8/х + 8/(12 + х) = 1

16х + 96 = х² + 12х

х² – 4х – 96 = 0

D = b² – 4ac = (–4)² + 4•1•96 = 400

Квадратный корень из D = 20

х₁ = (–b – D) / 2 a = (4 – 20) / 2 = –8

x₂ = (–b + D) / 2 a = (4 + 20) / 2 = 12

у = 12 + 12 = 24

Ответ: 12 часов, 24 часа.

б) Бассейн наполняется двумя трубами за 6 ч. Одна первая труба заполняет его на 5 ч скорее, чем вторая. За сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первой трубе, час

у – время на всю работу второй трубе, час

1/х – производительность первой трубы

1/у – производительность второй трубы

Так как бассейн наполняется двумя трубами за 6 ч , то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•6 = 1           (1)

Так как первая труба заполняет бассейн на 5 ч скорее, чем вторая, то можем записать

у – х = 5              (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 5 + х

6/х + 6/(5 + х) = 1

12х + 30 = х² + 5х

х² – 7х – 30 = 0

D = b² – 4ac = (–7)² + 4•1•30 = 169

Квадратный корень из D = 13

х₁ = (–b – D) / 2 a = (7 – 13) / 2 = –3

x₂ = (–b + D) / 2 a = (7 + 13) / 2 = 10

у = 5 + 10 = 15

Ответ: 10 часов, 15 часов.

841

а) Две бригады рабочих, работая вместе, могут выполнить задание за 3 ч. Сколько временя потребуется для выполнения этого задания первой бригаде, если она может выполнить все задание на 8 ч быстрей второй?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первой бригадой, час

у – время на всю работу второй бригадой, час

1/х – производительность первой бригады

1/у – производительность второй бригады

Так как две бригады, работая совместно, могли построить склад за 3 дня, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•3 = 1           (1)

Так как первая бригада могла бы выполнить задание на 8 часов скорее, чем вторая, то можем записать

у – х = 8              (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 8 + х

3/х + 3/(8 + х) = 1

6х + 24 = х² + 8х

х² – 2х – 24 = 0

D = b² – 4ac = (–2)² + 4•1•24 = 100

Квадратный корень из D = 10

х₁ = (–b – D) / 2 a = (2 – 10) / 2 = –4

x₂ = (–b + D) / 2 a = (2 + 10) / 2 = 6

у = 8 + 6 = 14

Ответ 6 часов.

б) Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить задание за 2 ч. Первому рабочему, если он будет работать один, потребуется на выполнение всего задания на 3 ч больше, чем второму. За сколько времени может выполнить все задание первый рабочий?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первому рабочему, час

у – время на всю работу второму рабочему, час

1/х – производительность первого рабочего

1/у – производительность второго рабочего

Так как двое рабочих, работая вместе, могут выполнить задание за 2 ч, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•2 = 1           (1)

Так как первый рабочий мог выполнить эту работу за 3 дней скорее, чем второй, то можем записать

х – у = 3              (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

х = 3 + у

2/у + 2/(3 + у) = 1

4у + 6 = у² + 3у

у² – у – 6 = 0

D = b² – 4ac = (–1)² + 4•1•6 = 25

Квадратный корень из D = 5

у₁ = (–b – D) / 2 a = (1 –5) / 2 = –2

у₂ = (–b + D) / 2 a = (1 + 5) / 2 = 3

х = 3 + 3= 6

Ответ: 6 часов.

842

а)Рабочему и ученику нужно было изготовить 69 деталей. После того, как ученик поработал 3 ч, к выполнению задания подключился рабочий и они вместе закончили работу через 2 часа. Какова производительность рабочего и ученика, если рабочий за 3 часа делает столько же деталей, сколько ученик за 4 часа?

Решение

у – количество деталей в час изготавливаемых учеником, дет/час

р – количество деталей в час изготавливаемых рабочим, дет/час

3 у – количество деталей изготовленных учеником за 3 часа

2(у + р) – количество деталей изготовленных учеником и рабочим 2 часа

3 у + 2(у + р) = 69 (1)

3 р = 4 у (2)

Со второго уравнения у = 0,75 р подставляем в первое

3 0,75 р + 2(0,75 р + р) = 69

5,75 р = 69

р = 12

у = 0,75 • 12 = 9

Ответ: 12; 9 (деталей/час)

б) Первая бригада собрала с 320 га на 660 ц зерна больше, чем вторая бригада с 330 га, за счет того, что урожайность одного гектара поля у первой бригады на 3 ц выше, чем у второй. Сколько зерна собрала каждая бригада?

Решение

х – урожайность одного гектара поля у второй бригады, ц/га

(х + 3) – урожайность одного гектара поля у первой бригады, ц/га

320 (х + 3) – 330 х = 660

10 х = 300

х = 30

320 (х + 3) = 320 (30 + 3) = 10560

330 х = 330 • 30 = 9900

Ответ: 10560 ц и 9900 ц

843

а) Два экскаватора, работая вместе, могут выкопать котлован за 12 дней. Первый, работая один, мог бы выкопать этот котлован на 10 дней быстрее, чем. другой. За сколько дней мог бы выкопать этот котлован каждый

экскаватор, работая отдельно?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время первого экскаватора на всю работу, дней

у – время второго экскаватора на всю работу, дней

1/х – производительность первого экскаватора

1/у – производительность второго экскаватора

Так как два экскаватора, работая вместе, могут выкопать котлован за 12 дней, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•12 = 1                   (1)

Так как первый, работая один, мог бы выкопать этот котлован на 10 дней быстрее, чем. другой то можем записать

у – х = 10            (2)

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 10 + х

12/х + 12/(10 + х) = 1

24х + 120 = х² + 10х

х² – 14х – 120 = 0

D = b² – 4ac = (–14)² + 4•1•120= 676

Квадратный корень из D = 26

х₁ = (–b – D) / 2 a = (14 – 26) / 2 = –6

x₂ = (–b + D) / 2 a = (14 + 26) / 2 = 20

у = 10 + 19 = 29

Ответ 20 и 30 дней.

б) Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев на учебно–опытном участке за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на выполнение этой работы каждой бригаде отдельно, если одна из бригад могла бы

закончить посадку деревьев на 6 дней скорее другой?

Решение

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

х – время на всю работу первой бригадой, дней

у – время на всю работу второй бригадой, дней

1/х – производительность первой бригады

1/у – производительность второй бригады

Так как две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев на учебно–опытном участке за 4 дня, то на основании этого имеем

(1/х + 1/у)•4 = 1

Так как первая бригада могла бы выполнить задание на 6 часов скорее, чем вторая, то можем записать

у – х = 6

Составим систему уравнений и решим ее.

у = 6 + х

4/х + 4/(6 + х) = 1

8х + 24 = х² + 6х

х² – 2х – 24 = 0

D = b² – 4ac = (–2)² + 4•1•24 = 100

Квадратный корень из D = 10

х₁ = (–b – D) / 2 a = (2 – 10) / 2 = –4

x₂ = (–b + D) / 2 a = (2 + 10) / 2 = 6

у = 6 + 6 = 12

Ответ (6 и 12) часов.