Задачи базисного уровня

804

а) Прямоугольный участок земли площадью 1600 м² обнесен изгородью, длина которой 200 м. Найдите стороны этого участка.

Решение

Сумма двух непараллельных сторон прямоугольника равна 100 м. Обозначим одну сторону за х м, тогда вторая сторона – (100 – х) м. Площадь прямоугольника равна произведению двух непараллельных сторон

(100 – х) х = 1600

100 х – х² = 1600

х² – 100 х + 1600 = 0

D = b² – 4ac = (–100)² –4•1•1600 = 3600

Квадратный корень из D = 60

х₁ = (–b – D) / 2 a = (100 – 60) / 2 = 20

x₂ = (–b + D) / 2 a = (100 + 60) / 2 = 80

Ответ: Стороны участка равны – 20 м и 80 м.

б) Длина земельного участка прямоугольной формы на 20 м больше его ширины, а площадь равна 800 м². Найдите длину и ширину участка.

Решение

Пусть ширина земельного участка равна – х. Тогда длина – (20 + х). Площадь прямоугольника равна произведению двух непараллельных сторон

(20 + х) х = 800

20 х + х2 = 800

х² + 20 х – 800 = 0

D = b2 – 4ac = (20)2 +4•1•800 = 3600

Квадратный корень из D = 60

х₁ = (–b –D) / 2 a = (–20 – 60) / 2 = –40

x₂ = (–b +D) / 2 a = (–20 + 60) / 2 = 20

Ответ: Стороны участка равны: 20 м и 40 м.

 

805

а) Диагональ прямоугольника равна 17 см, его периметр равен 46 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение

Сумма двух непараллельных сторон прямоугольника равна 23 м. Обозначим одну сторону за х м, тогда вторая сторона – (23 – х) м. По теореме Пифагора (23 – х)² + х² = 17²

529 – 46 х + х² + х² = 289

2 х² – 46 х + 240 = 0

х² – 23 х + 120 = 0

D = b² – 4ac = (–23)² – 4•1•120 = 49

Квадратный корень из D = 7

х₁ = (–b – D) / 2 a = (23 – 7) / 2 = 8

x₂ = (–b +D) / 2 a = (23 + 7) / 2 = 15

Ответ: Стороны прямоугольника равны – 8 м и 15 м.

б) Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 30 см, а площадь равна 50 см².

Решение

Сумма двух непараллельных сторон прямоугольника равна 15 см. Обозначим одну сторону за х см, тогда вторая сторона – (15 – х) см. Площадь прямоугольника равна произведению двух непараллельных сторон

(15 – х) х = 50

15 х – х² = 50

х² – 15 х + 50 = 0

D = b² – 4ac = (–15)² –4•1•50 = 25

Квадратный корень из D = 5

х₁ = (–b – D) / 2 a = (15 – 5) / 2 = 5

x₂ = (–b +D) / 2 a = (15 + 5) / 2 = 10

Ответ: Стороны прямоугольника равны – 5 см и 10 см.

 

806

а) Основание прямоугольника на 1 м больше, чем его высота, а диагональ прямоугольника имеет длину 29 м. Найдите длину основания и высоту прямоугольника.

Решение

Обозначим высоту прямоугольника через х м, тогда вторая сторона – (1+х) м.

По теореме Пифагора

(1 + х)² + х² = 29²

1 + 2 х + х² + х² = 841

2 х² + 2 х – 840 = 0

х² + х – 420 = 0

D = b² – 4ac = (1)² + 4•1•420 = 1681

Квадратный корень из D = 41

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–1 – 41) / 2 = –21

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–1 + 41) / 2 = 20

Ответ: Высота прямоугольника 20 м, а основание – 21 м.

б) Высота прямоугольника на 31 м больше его основания, а площадь прямоугольника равна 360 м². Найдите длину основания и высоту прямоугольника.

Решение

Обозначим основание прямоугольника через х м, тогда вторая сторона – (31+х) м.

По теореме Пифагора

(31 + х)•х = 360

х² + 31 х – 360 = 0

D = b² – 4ac = (31)² + 4•1•360 = 2401

Квадратный корень из D = 49

х₁ = (–b – D) / 2 a = (–31 – 49) / 2 = –20

x₂ = (–b + D) / 2 a = (–31 + 49) / 2 = 9

Ответ: Основание прямоугольника 9 м, а высота – 40 м.

 

807

а) Длина диагонали прямоугольника равна 17 см, а сумма двух его непараллельных сторон равна 23 см. Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Сумма двух непараллельных сторон прямоугольника равна 23 см. Обозначим одну сторону за х см, тогда вторая сторона – (23 – х) см. Площадь прямоугольника равна произведению двух непараллельных сторон

(23 – х)² + х² = 17²

529 – 46 х + х² + х²= 289

2 х² – 46 х + 240 = 0

х² – 23 х + 120 = 0

D = b² – 4ac = (–23)² –4•1•120 = 49

Квадратный корень из D = 7

х₁ = (–b – D) / 2 a = (23 – 7) / 2 = 8

x₂ = (–b + D) / 2 a = (23 + 7) / 2 = 15

Стороны прямоугольника равны – 8 см и 15 см.

Площадь прямоугольника равна произведению двух непараллельных сторон

S = 8 • 15 = 120 см²

Ответ: 120 см²

б) Площадь прямоугольника 120 см² , а его периметр равен 46 см. Найдите длину диагонали этого прямоугольника

Решение

Сумма двух непараллельных сторон прямоугольника равна 23 см. Обозначим одну сторону за х см, тогда вторая сторона – (23 – х) см. Площадь прямоугольника равна произведению двух непараллельных сторон

(23 – х) • х = 120

23 х – х² = 120

х² – 23 х + 120 = 0

D = b² – 4ac = (–23)² – 4•1•120 = 49

Квадратный корень из D = 7

х₁ = (–b – D) / 2 a = (23 – 7) / 2 = 8

x₂ = (–b + D) / 2 a = (23 + 7) / 2 = 15

Стороны прямоугольника равны – 8 см и 15 см.

Длина диагонали d² = 8² + 15² = 289

d = 17 см.

Ответ: 17 см.